<<
>>

Приложение 1. Распределение хи-квадрат

Пусть случайные величины Zl9 Z2,..., Zn представляют собой независимые стандартные нормально распределенные величины, т.е. математическое ожидание каждой из них равно нулю и дисперсия равна единице.
Сумма квадратов данных случайных величин:

Z,2+Z22+... + Zn2 (П.9.1)

также является случайной величиной. Ее именуют хи-квадрат, а закон ее распределения - хи-квадрат распределением. Данное распределение определяется одним параметром - числом степеней свободы к. Число степеней свободы представляет собой разность между числом суммируемых случайных величин и числом линейных связей, которые ограничивают свободу их изменения. Поскольку в сумме (П.9.1) все слагаемые независимы, т.е. каждая составляющая может менять свое значение независимо от других значений, то число степеней

свободы данной случайной величины X =^^/ равно их количеству, т.е.

/=i

к-п.

Пусть теперь имеется выборка из генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины X. Выборка осуществлялась таким образом, что полученные значения случайной величины независимы. (Их можно рассматривать как независимые нормально распределенные величины, имеющие одинаковое математическое ожидание и дисперсию.) На основе выборки находим математическое ожидание суммы данных величин а и дисперсию а.

313

Глава 9. Параметрическая модель VaR

Центрируем и нормируем полученные случайные величины, т.е. вычитаем из каждого значения математическое ожидание и делим на стандартное отклонение. В результате получаем случайные величины:

Они являются независимыми с математическим ожиданием ноль и дисперсией единица. Соответственно сумма квадратов данных величин:

имеет распределение хи-квадрат. Однако в отличие от суммы (П.9.1) количество степеней свободы суммы (П.9.2) составляет к-п-\. Количество степеней свободы уменьшилось на единицу, поскольку по своей сути выражение (П.9.2) представляет собой выборочную дисперсию, в рамках которой случайные величины связаны одним линейным соотношением - фиксированным значением найденного математического ожидания.

Связанность случайных величин в этом случае означает, что одну из них можно всегда выразить через остальные, что ограничивает свободу изменения этих величин.

Распределение хи-квадрат используется при построении доверительных интервалов для дисперсии.

VaR опционных позиций можно оценить как на основе аналитических методов, так и с помощью метода Монте-Карло. Результаты по опционной позиции характеризуются не линейной структурой. Поэтому в большей степени для их оценки подходит метод статистических испытаний. В случае аналитического подхода опционную позицию следует разложить на ряд составляющих в соответствии с факторами риска опциона. Зависимость между премией опциона и факторами риска предполагается линейной. На практике она не линейна. Поэтому оценка VaR аналитическим способом дает приемлемый результат только для изменения факторов риска в небольшом диапазоне. Рассмотрим линейное приближение оценки VaR опциона.

Основополагающим фактором риска опциона выступает цена базисного актива. Зависимость между премией опциона и ценой базисного актива представлена дельтой опциона8. Поэтому зависимость между ценой опциона в начальный и конечный моменты времени можно представить как:

О дельте опциона см. А.Н.Буренин "Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные", М., "Научно-техническое общество им. академика С.И.Вавилова", 2005, глава

(П.9.2)

<< | >>
Источник: А.Н. Буренин. Управление портфелем ценных бумаг. 2-е издание, исправленное и дополненное. Научно-техническое общество имени академика СИ. Вавилова . 2008

Еще по теме Приложение 1. Распределение хи-квадрат:

  1. 14.6. Приложение Б. Таблица нормального распределения
  2. Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов
  3. Приложение А Состав модулей учебной дисциплины, распределение времени на их усвоение, сроки контроля
  4. 2.4.1. Оценка параметров линейной регрессии с помощью метода наименьших квадратов
  5. ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Определение значений вероятности нормально распределенной стандартной случайной величины с помощью программы Excel
  6. 2.3.5. Приложение N 5 "Расчет распределения авансовых платежей и налога на прибыль в бюджет субъекта Российской Федерации организацией, имеющей обособленные подразделения"
  7. Выбор показателя мощности в качестве базы распределения в калькуляционной системе с полным распределением затрат
  8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДОВ В РАМКАХ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ. ПРОБЛЕМЫ НЕРАВЕНСТВА В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДОХОДОВ
  9. Следующий исторический этап распределения затрат. Калькуляция затрат путем распределения косвенных расходов пропорционально машино-часам
  10. Приложение 18 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТНИКОВ, замещавших государственные и муниципальные должности в органах государственной власти и местного самоуправления, по направлениям подготовки высшего профессионального образования на 1 сентября 2003 года (в % от общей численности работников, имевших высшее профессиональное образование)
  11. Приложения Приложение 1. Коды торговых систем и индикаторов для программы MetaStock
  12. ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЗАКОН О РАЗВИТИИ МАЛОГО И СРЕДНЕГО ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
  13. 17.1. Неравенство распределения доходов в либеральной рыночной экономике Концепции распределения доходов в национальной экономике
  14. Приложения ПРИЛОЖЕНИЕ 1. МЕТОДИКА ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ
  15. Приложения Приложение 1 Основныеразделыфинансовогопланапредприятия