Приложение 1. Определение формы функции полезности инвестора
Инвестор приобретает рискованный актив 5, текущая цена которого равна S. В следующий момент в результате изменения конъюнктуры его цена с равной вероятностью может составить величину (S + х) или (S - х).
Ожидаемый доход актива E(S) равен:Полезность гарантированной суммы равной ожидаемому доходу на основе (П.8.1) составляет:
E{s) = -{S + x) + -{S-x) = S
(П.8.1)
(П.8.2)
Ожидаемая полезность покупки актива равна:
(П.8.3)
Для инвестора не склонного к риску справедливо неравенство
(П.8.4)
или, подставляя в (П.8.4) результаты (П.8.2) и (П.8.3):
292
Глава 8. Принятие решений в условиях риска и неопределенности
U{S)>±U{S + x)+±U(S-x)
(П.8.5)
Разложим правую часть неравенства (П.8.5) в ряд Тейлора в окрестности точки равной ожидаемому доходу актива, т.е. S:
-U(S + x)+-U(S-x) =
1
+ — 2
U(S)+U\S)x^^UIS)x2^^aeaeMble 6OFE
^ \и) ^ ^ \и г ^ 2 v } высокого порядка
ТТ(?\ тг(ч\ 1 2 слагаемые более
U\b)-U {b)x + — U {b)x + высокого порядка
(П.8.6)
- тт(ч\ тт"(?} 2 слагаемые более ~ U\b)+U (ijx + высокого порядка
Устремим значение х к нулю. Тогда в (П.8.6) слагаемыми более высокого порядка можно пренебречь и (П.8.6) принимает вид:
^ U(S + х)+^U{S - х) = U(S)+U"(S)x2
(П.8.7)
Подставим полученный результат в (П.8.5):
U(S)>U(S)+U"(S)X2 (П.8.8)
В (П.8.8) слагаемые U(S) в правой и левой частях неравенства одинаковые. Следовательно, чтобы оно выполнялось, величина U"(s)x2 должна быть отрицательной. Так как х2 > О, то отрицательной является вторая производная функции полезности U"{S). Отрицательность второй производной функции на участке [(S - х); (S + х)] говорит о том, что она является выпуклой вверх на этом участке.
Для инвестора склонного к риску справедливо неравенство:
U[E{S)] U{S)Чтобы условие (П.8.9) выполнялось, величина U"(S) должна быть больше нуля. Положительное значение второй производной функции на участке [(iS-x),^ + х)] говорит о том, что она является выпуклой вниз на этом участке. Для инвестора безразличного к риску справедливо равенство:
U[E{S)]=E[U(S)]
С учетом результатов (П.8.2) и (П.8.7) оно принимает вид:
U(s) = U(s)+U"(s)x2 (П.8.10)
293
Глава 8. Принятие решений в условиях риска и неопределенности
Поскольку х^О, то для выполнения условия (П.8.10) величина должна
быть равна нуля. Нулевое значение второй производной на участке говорит о том, что график функции представляет на ней прямую
линию.
Еще по теме Приложение 1. Определение формы функции полезности инвестора:
- 8.1. Функция полезности инвестора
- 8.1.2. Общая характеристика функций полезности и ожидаемой полезности
- Приложение 6. Определение геометрической формы границы Марковца
- Свойства функций полезности
- Графики функций полезности
- ПОЛЕЗНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
- Определение цен с ориентацией на полезность продукции
- Количественное определение ожиданий инвестора с помощью стоимости капитала
- Приложения Регламент МАЮ для регулирования процедуры медиации между инвестором и государством
- Приложение 4 Регламент Международной ассоциации юристов (МАЮ) для проведения процедуры медиации между инвестором и государством
- Система факторов - сигналов для определения рейтингов трансакционных издержек инвесторов
- ОБЩАЯ И ПРЕДЕЛЬНАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ, ПРАВИЛО МАКСИМИЗАЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
- 1. Теории предельной полезности. Количественный подход к оценке полезности.
- 1.2 Формы и функции денег
- Глава 7 Инвестор — Среднесрочный инвестор — Спекулянт
- Приложение 5.1 Определение эластичности спроса