<<
>>

Приложение 1. Определение формы функции полезности инвестора

Определим форму функции полезности инвестора не склонного к риску.

Инвестор приобретает рискованный актив 5, текущая цена которого равна S. В следующий момент в результате изменения конъюнктуры его цена с равной вероятностью может составить величину (S + х) или (S - х).

Ожидаемый доход актива E(S) равен:

Полезность гарантированной суммы равной ожидаемому доходу на основе (П.8.1) составляет:

E{s) = -{S + x) + -{S-x) = S

(П.8.1)

(П.8.2)

Ожидаемая полезность покупки актива равна:

(П.8.3)

Для инвестора не склонного к риску справедливо неравенство

(П.8.4)

или, подставляя в (П.8.4) результаты (П.8.2) и (П.8.3):

292

Глава 8. Принятие решений в условиях риска и неопределенности

U{S)>±U{S + x)+±U(S-x)

(П.8.5)

Разложим правую часть неравенства (П.8.5) в ряд Тейлора в окрестности точки равной ожидаемому доходу актива, т.е. S:

-U(S + x)+-U(S-x) =

1

+ — 2

U(S)+U\S)x^^UIS)x2^^aeaeMble 6OFE

^ \и) ^ ^ \и г ^ 2 v } высокого порядка

ТТ(?\ тг(ч\ 1 2 слагаемые более

U\b)-U {b)x + — U {b)x + высокого порядка

(П.8.6)

- тт(ч\ тт"(?} 2 слагаемые более ~ U\b)+U (ijx + высокого порядка

Устремим значение х к нулю. Тогда в (П.8.6) слагаемыми более высокого порядка можно пренебречь и (П.8.6) принимает вид:

^ U(S + х)+^U{S - х) = U(S)+U"(S)x2

(П.8.7)

Подставим полученный результат в (П.8.5):

U(S)>U(S)+U"(S)X2 (П.8.8)

В (П.8.8) слагаемые U(S) в правой и левой частях неравенства одинаковые. Следовательно, чтобы оно выполнялось, величина U"(s)x2 должна быть отрицательной. Так как х2 > О, то отрицательной является вторая производная функции полезности U"{S). Отрицательность второй производной функции на участке [(S - х); (S + х)] говорит о том, что она является выпуклой вверх на этом участке.

Для инвестора склонного к риску справедливо неравенство:

U[E{S)]С учетом результатов (П.8.2) и (П.8.7) оно принимает вид:

U{S)Чтобы условие (П.8.9) выполнялось, величина U"(S) должна быть больше нуля. Положительное значение второй производной функции на участке [(iS-x),^ + х)] говорит о том, что она является выпуклой вниз на этом участке. Для инвестора безразличного к риску справедливо равенство:

U[E{S)]=E[U(S)]

С учетом результатов (П.8.2) и (П.8.7) оно принимает вид:

U(s) = U(s)+U"(s)x2 (П.8.10)

293

Глава 8. Принятие решений в условиях риска и неопределенности

Поскольку х^О, то для выполнения условия (П.8.10) величина должна

быть равна нуля. Нулевое значение второй производной на участке говорит о том, что график функции представляет на ней прямую

линию.

<< | >>
Источник: А.Н. Буренин. Управление портфелем ценных бумаг. 2-е издание, исправленное и дополненное. Научно-техническое общество имени академика СИ. Вавилова . 2008

Еще по теме Приложение 1. Определение формы функции полезности инвестора:

  1. 8.1. Функция полезности инвестора
  2. 8.1.2. Общая характеристика функций полезности и ожидаемой полезности
  3. Приложение 6. Определение геометрической формы границы Марковца
  4. Свойства функций полезности
  5.               Графики функций полезности
  6. ПОЛЕЗНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
  7. Определение цен с ориентацией на полезность продукции
  8. Количественное определение ожиданий инвестора с помощью стоимости капитала
  9. Приложения Регламент МАЮ для регулирования процедуры медиации между инвестором и государством
  10. Приложение 4 Регламент Международной ассоциации юристов (МАЮ) для проведения процедуры медиации между инвестором и государством
  11. Система факторов - сигналов для определения рейтингов трансакционных издержек инвесторов
  12. ОБЩАЯ И ПРЕДЕЛЬНАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ, ПРАВИЛО МАКСИМИЗАЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
  13. 1. Теории предельной полезности. Количественный подход к оценке полезности.
  14. 1.2 Формы и функции денег
  15. Глава 7 Инвестор — Среднесрочный инвестор — Спекулянт
  16. Приложение 5.1 Определение эластичности спроса