<<
>>

5.1.1.1. Копирование индекса

Стратегия копирования индекса состоит в формировании портфеля, который по своему составу повторяет некоторый фондовый индекс, обычно индекс с широкой базой. Недостатком такой стратегии является то, что выплата дивидендов и процентов по бумагам, входящим в индекс, автоматически отражается в его стоимости.
В то же время менеджер несет дополнительные издержки при реинвестировании полученных средств. Кроме того, для приобретения какого-либо актива может потребоваться определенное время для аккумулирования необходимой суммы денег. Точное копирование индекса может повлечь высокие трансакционные издержки, так как менеджеру приходится приобретать относительно малое количество большого числа разных активов. Кроме того, при изменении состава индекса также должны последовать изменения и в структуре портфеля. Обычно, при исключении какой-либо бумаги из состава индекса цена ее падает, в то же время цена включаемого в индекс актива возрастает. Поэтому менеджер несет дополнительные затраты в сумме разности цен продаваемого и покупаемого активов. Чтобы исключить указанные недостатки, можно копировать индекс на основе определенной выборки бумаг, входящих в индекс, которые наиболее близко повторяют его динамику. В этом случае сокращаются трансакционные расходы. Однако возникает вероятность отклонения результатов сформированного портфеля от результатов рыночного портфеля.

При не полном копировании следует отбирать в портфель бумаги, которые в наибольшей степени характеризуют его параметры. Для этого, прежде всего, необходимо разбить портфель на ряд подпортфелей с определяющими чертами. Например, для индекса акций подпорфелями могут служить бумаги одной отрасли. После этого определяются характеристики подпортфелей - доходность и

191

Глава 5. Стратегии в управлении портфелем

риск. Затем из каждого подпортфеля выбираются бумаги, наилучшим образом копирующие его характеристики.

Конкретные удельные веса для включения отобранных бумаг в портфель можно определить на основе решения задачи минимизации ошибки копирования доходности индекса. Назовем ее ошибкой слежения (tracking error). Она показывает степень рассеяния доходности портфеля вокруг доходности индекса и рассчитывается по формуле:

где гр - доходность формируемого портфеля;

гj - доходность копируемого индекса; var(-) - дисперсия.

Таким образом, задача сводится к минимизации стандартного отклонения разности между доходностью формируемого портфеля и копируемого индекса. В результате определяют уд. веса бумаг, в которых они включаются в портфель. Расчеты проводят на основе прошлых данных статистики. Большинство инвесторов оценивают доходность, по крайней мере, ежемесячно. Поэтому ошибка слежения определяется на основе помесячных данных доходности. После этого результат переводится в расчете на год умножением его на корень квадратный из двенадцати.1 Поскольку ошибка слежения измеряется стандартным отклонением, то для случая нормального распределения доходности она имеет простую вероятностную интерпретацию. Пусть ошибка слежения в расчете на год равна 1%. Тогда, если доходность индекса прогнозируется на уровне 10% годовых, то с вероятностью 68,3% можно ожидать, что доходность портфеля будет лежать в диапазоне от 9% до 11%, с вероятностью 95,4% - в диапазоне от 8% до 12% и с вероятностью 99,7% - в диапазоне от 7% до 13%.

Задачу определения уд. весов бумаг в копирующем портфеле можно записать как:

(5.1)

(5.2)

где а2р - дисперсия доходности формируемого портфеля;

а] - дисперсия доходности копируемого индекса; covp/ - ковариация доходностей портфеля и индекса. Как известно, риск портфеля определяется по формуле:

п п

Поэтому формулу (5.2) можно представить в виде:

var(rp - г7) = ? Е 0,0j cov у + а) - 2^ 0. cov,

(5.3)

См. параграф 1.2.1.

192

Глава 5. Стратегии в управлении портфелем

В формуле (5.3) последнее слагаемое равно 2^Г#; cov/7 ? так как ковариация до

/=1

ходности портфеля с индексом - это ковариация каждой бумаги в портфеле с индексом с учетом ее уд.

веса.

Ограничение для данной оптимизационной задачи определяется как

п

У^Д = 1. Задачу можно решить с помощью множителей Лагранжа. Рассмотрим

технику определения копирующего портфеля, который бы минимизировал ошибку слежения фондового индекса.

Пример 1.

Фондовый индекс включает пятнадцать акций. Стандартное отклонение доходности индекса в расчете на год равно 0,32. Индекс копируется с помощью трех акций. Для этого разбиваем портфель на три подпортфеля по их однородности. В каждом из них определяем акцию, которая наилучшим образом копирует характеристики подпортфеля, т.е. имеет риск и доходность ближе всего соответствующие риску и доходности подпортфеля. Выбранные акции имеют следующие характеристики: стандартное отклонение доходности первой равно 0,28, второй - 0,3, третьей - 0,34. Ковариация доходностей первой и второй бумаг составляет 0,028, первой и третьей - 0,04, второй и третьей - 0,037. Ковариация доходностей индекса с первой акцией составляет 0,05, со второй - 0,08, с третьей - 0,09. Запишем функцию Лагранжа:

зз з ( з Л

i=\ y=l i=l V *'=1

(5.4)

Найдем производные функции Лагранжа по в1 и Л в общем виде и приравняем их к нулю:

— = 2?0ycov(r2covi, + A = O; i = l,...,3 (5.5)

Щ 7=1

Подставим цифровые значения задачи в уравнения (5.5) и (5.6) и объединим их в систему:

'20,О,282 + 2^2 0,028 + 26>30,04 - 2 • 0,05 + Л = 0

202 0,32 + 26», 0,028 + 203 0,037 - 2 • 0,08 + Л = 0

203 0,342 + 20,0,04 + 202 0,037 - 2 • 0,09 + Л = 0 0Х +02 +03 -1 = 0

или

193

Глава 5. Стратегии в управлении портфелем

'0,07840, + О,О2802 + О,О403 + 0,5Я = 0,05

0,0280 + О,О902 + 0,0370, + 0>5Л = 0,08

0,040, + О,О3702 + 0,115603 + °>5Я = °>09 0,+02 +03 =1

Решая систему уравнений (5.7) получим:

0, =0,010997; 02 =0,515711; 03 =0,473292

Таким образом, для того, чтобы копировать индекс с помощью портфеля из трех акций и минимизировать ошибку слежения, необходимо купить первую акцию в уд. весе 1,0997%, вторую - 51,5711%, третью - 47,3292%.

Дисперсия такого портфеля составит за год величину 0,002231, а стандартное отклонение -0,047233 или 4,72%. Поэтому можно ожидать, что через год с вероятностью 68,3% доходность копируемого портфеля будет отличаться от доходности фондового индекса на 4,72%.

Задачу копирования индекса можно решать на основе использования многофакторных моделей. В этом случае выделяют экономические факторы, от которых зависят доходности бумаг и копируемого индекса, и составляют уравнение регрессии.

Допустим, доходности бумаг определяются следующей двухфакторной моделью:

г, =4(5.8)

где а. - доходность i -й бумаги в отсутствии влияния на нее рыночных факторов;

Fl9 F2 - экономические факторы, от которых зависит доходность / -й бумаги, например, уровень инфляции, валового внутреннего продукта и т.п.;

Д,,Д2 - коэффициенты чувствительности доходности /-й бумаги соответственно к первому и второму факторам;

ех - независимая случайная переменная. Ее среднее значение равно нулю,

дисперсия постоянна, ковариация с экономическими факторами равна нулю; ковариация с нерыночным риском других активов равна нулю.

Доходность копирующего портфеля на основе формулы (5.8) составляет:

rp=ccp+(3pXFx+l3p2F2+sp , (5.9)

где /?,,/? 2 - коэффициенты чувствительности доходности копирующего портфеля соответственно к первому и второму факторам.

Уравнение регрессии копируемого индекса имеет вид:

rI=aI+pnFx+pi2F2+eI (5.10)

При неполном копировании задача формирования портфеля сводится к минимизации ошибки слежения. Поэтому копирующий портфель следует построить таким образом, чтобы при изменении экономических факторов его доход

194

Глава 5. Стратегии в управлении портфелем

ность изменялась аналогично изменению доходности индекса. Для этого необходимо выполнение следующих условий:

(5.11)

В формуле (5.9) ррХ = ^dOifin и рр2 = ^^Д2. С учетом этого систему уравнений (5.11) запишем как:

(5.12)

Решая систему (5.12), получим значения уд. весов бумаг для формирования портфеля при неполном копировании.

Количество факторов Ft определяет количество уравнений составляемой

системы. Если их меньше чем количество бумаг, объединяемых в портфель, т.е. неизвестных параметров, то система будет иметь много решений. В таком случае из возможного множества решений оптимальным будет то, которое минимизирует ошибку слежения. Оно находится путем подстановки в уравнение (5.3) уд. весов бумаг для каждого решения системы. Логическим объяснением изложенного подхода является то, что изменение доходности индекса и портфеля прежде всего определяются общими для них экономическими факторами. Поэтому для минимизации ошибки слежения портфель следует сформировать из таких бумаг и в таких пропорциях, чтобы их коэффициенты чувствительности были одинаковы.

<< | >>
Источник: А.Н. Буренин. Управление портфелем ценных бумаг. 2-е издание, исправленное и дополненное. Научно-техническое общество имени академика СИ. Вавилова . 2008

Еще по теме 5.1.1.1. Копирование индекса:

  1. 5.1.1.2. Определение оптимального портфеля при копировании индекса с помощью программы Excel
  2. Развитие технологии копирования документов
  3. Основные макроэкономические тождества. Индекс благосостояния и индекс развития человеческого потенциала. Национальное богатство
  4. 5.2.1.2. Определение теоретического коэффициента хеджирования. Бета, рассчитанная относительно индекса РТС и фьючерса на индекс РТС
  5. Индекс цен производителей и индекс потребительских цен
  6. 13.2.2. Индекс Дженсена, модифицированный индекс Дженсена
  7. § 24.2. ФОНДОВЫЕ ИНДЕКСЫ
  8. 11.4.4. Фондовые индексы
  9. 11.3.4. Фондовые индексы
  10. 10.3. Фондовые индексы
  11. Индекс прибыльности (Р1)
  12. Индивидуальные индексы
  13. Курсовые индексы
  14. Индексы