5.1.1.1. Копирование индекса
При не полном копировании следует отбирать в портфель бумаги, которые в наибольшей степени характеризуют его параметры. Для этого, прежде всего, необходимо разбить портфель на ряд подпортфелей с определяющими чертами. Например, для индекса акций подпорфелями могут служить бумаги одной отрасли. После этого определяются характеристики подпортфелей - доходность и
191
Глава 5. Стратегии в управлении портфелем
риск. Затем из каждого подпортфеля выбираются бумаги, наилучшим образом копирующие его характеристики.
Конкретные удельные веса для включения отобранных бумаг в портфель можно определить на основе решения задачи минимизации ошибки копирования доходности индекса. Назовем ее ошибкой слежения (tracking error). Она показывает степень рассеяния доходности портфеля вокруг доходности индекса и рассчитывается по формуле:где гр - доходность формируемого портфеля;
гj - доходность копируемого индекса; var(-) - дисперсия.
Таким образом, задача сводится к минимизации стандартного отклонения разности между доходностью формируемого портфеля и копируемого индекса. В результате определяют уд. веса бумаг, в которых они включаются в портфель. Расчеты проводят на основе прошлых данных статистики. Большинство инвесторов оценивают доходность, по крайней мере, ежемесячно. Поэтому ошибка слежения определяется на основе помесячных данных доходности. После этого результат переводится в расчете на год умножением его на корень квадратный из двенадцати.1 Поскольку ошибка слежения измеряется стандартным отклонением, то для случая нормального распределения доходности она имеет простую вероятностную интерпретацию. Пусть ошибка слежения в расчете на год равна 1%. Тогда, если доходность индекса прогнозируется на уровне 10% годовых, то с вероятностью 68,3% можно ожидать, что доходность портфеля будет лежать в диапазоне от 9% до 11%, с вероятностью 95,4% - в диапазоне от 8% до 12% и с вероятностью 99,7% - в диапазоне от 7% до 13%.
Задачу определения уд. весов бумаг в копирующем портфеле можно записать как:
(5.1)
(5.2)
где а2р - дисперсия доходности формируемого портфеля;
а] - дисперсия доходности копируемого индекса; covp/ - ковариация доходностей портфеля и индекса. Как известно, риск портфеля определяется по формуле:
п п
Поэтому формулу (5.2) можно представить в виде:
var(rp - г7) = ? Е 0,0j cov у + а) - 2^ 0. cov,
/У
(5.3)
См. параграф 1.2.1.
192
Глава 5. Стратегии в управлении портфелем
В формуле (5.3) последнее слагаемое равно 2^Г#; cov/7 ? так как ковариация до
/=1
ходности портфеля с индексом - это ковариация каждой бумаги в портфеле с индексом с учетом ее уд.
веса.Ограничение для данной оптимизационной задачи определяется как
п
У^Д = 1. Задачу можно решить с помощью множителей Лагранжа. Рассмотрим
технику определения копирующего портфеля, который бы минимизировал ошибку слежения фондового индекса.
Пример 1.
Фондовый индекс включает пятнадцать акций. Стандартное отклонение доходности индекса в расчете на год равно 0,32. Индекс копируется с помощью трех акций. Для этого разбиваем портфель на три подпортфеля по их однородности. В каждом из них определяем акцию, которая наилучшим образом копирует характеристики подпортфеля, т.е. имеет риск и доходность ближе всего соответствующие риску и доходности подпортфеля. Выбранные акции имеют следующие характеристики: стандартное отклонение доходности первой равно 0,28, второй - 0,3, третьей - 0,34. Ковариация доходностей первой и второй бумаг составляет 0,028, первой и третьей - 0,04, второй и третьей - 0,037. Ковариация доходностей индекса с первой акцией составляет 0,05, со второй - 0,08, с третьей - 0,09. Запишем функцию Лагранжа:
зз з ( з Л
i=\ y=l i=l V *'=1
(5.4)
Найдем производные функции Лагранжа по в1 и Л в общем виде и приравняем их к нулю:
— = 2?0ycov(r2covi, + A = O; i = l,...,3 (5.5)
Щ 7=1
Подставим цифровые значения задачи в уравнения (5.5) и (5.6) и объединим их в систему:
'20,О,282 + 2^2 0,028 + 26>30,04 - 2 • 0,05 + Л = 0
202 0,32 + 26», 0,028 + 203 0,037 - 2 • 0,08 + Л = 0
203 0,342 + 20,0,04 + 202 0,037 - 2 • 0,09 + Л = 0 0Х +02 +03 -1 = 0
или
193
Глава 5. Стратегии в управлении портфелем
'0,07840, + О,О2802 + О,О403 + 0,5Я = 0,05
0,0280 + О,О902 + 0,0370, + 0>5Л = 0,08
0,040, + О,О3702 + 0,115603 + °>5Я = °>09 0,+02 +03 =1
Решая систему уравнений (5.7) получим:
0, =0,010997; 02 =0,515711; 03 =0,473292
Таким образом, для того, чтобы копировать индекс с помощью портфеля из трех акций и минимизировать ошибку слежения, необходимо купить первую акцию в уд. весе 1,0997%, вторую - 51,5711%, третью - 47,3292%.
Дисперсия такого портфеля составит за год величину 0,002231, а стандартное отклонение -0,047233 или 4,72%. Поэтому можно ожидать, что через год с вероятностью 68,3% доходность копируемого портфеля будет отличаться от доходности фондового индекса на 4,72%.Задачу копирования индекса можно решать на основе использования многофакторных моделей. В этом случае выделяют экономические факторы, от которых зависят доходности бумаг и копируемого индекса, и составляют уравнение регрессии.
Допустим, доходности бумаг определяются следующей двухфакторной моделью:
г, =4(5.8)
где а. - доходность i -й бумаги в отсутствии влияния на нее рыночных факторов;
Fl9 F2 - экономические факторы, от которых зависит доходность / -й бумаги, например, уровень инфляции, валового внутреннего продукта и т.п.;
Д,,Д2 - коэффициенты чувствительности доходности /-й бумаги соответственно к первому и второму факторам;
ех - независимая случайная переменная. Ее среднее значение равно нулю,
дисперсия постоянна, ковариация с экономическими факторами равна нулю; ковариация с нерыночным риском других активов равна нулю.
Доходность копирующего портфеля на основе формулы (5.8) составляет:
rp=ccp+(3pXFx+l3p2F2+sp , (5.9)
где /?,,/? 2 - коэффициенты чувствительности доходности копирующего портфеля соответственно к первому и второму факторам.
Уравнение регрессии копируемого индекса имеет вид:
rI=aI+pnFx+pi2F2+eI (5.10)
При неполном копировании задача формирования портфеля сводится к минимизации ошибки слежения. Поэтому копирующий портфель следует построить таким образом, чтобы при изменении экономических факторов его доход
194
Глава 5. Стратегии в управлении портфелем
ность изменялась аналогично изменению доходности индекса. Для этого необходимо выполнение следующих условий:
(5.11)
В формуле (5.9) ррХ = ^dOifin и рр2 = ^^Д2. С учетом этого систему уравнений (5.11) запишем как:
(5.12)
Решая систему (5.12), получим значения уд. весов бумаг для формирования портфеля при неполном копировании.
Количество факторов Ft определяет количество уравнений составляемой
системы. Если их меньше чем количество бумаг, объединяемых в портфель, т.е. неизвестных параметров, то система будет иметь много решений. В таком случае из возможного множества решений оптимальным будет то, которое минимизирует ошибку слежения. Оно находится путем подстановки в уравнение (5.3) уд. весов бумаг для каждого решения системы. Логическим объяснением изложенного подхода является то, что изменение доходности индекса и портфеля прежде всего определяются общими для них экономическими факторами. Поэтому для минимизации ошибки слежения портфель следует сформировать из таких бумаг и в таких пропорциях, чтобы их коэффициенты чувствительности были одинаковы.
Еще по теме 5.1.1.1. Копирование индекса:
- 5.1.1.2. Определение оптимального портфеля при копировании индекса с помощью программы Excel
- Развитие технологии копирования документов
- Основные макроэкономические тождества. Индекс благосостояния и индекс развития человеческого потенциала. Национальное богатство
- 5.2.1.2. Определение теоретического коэффициента хеджирования. Бета, рассчитанная относительно индекса РТС и фьючерса на индекс РТС
- Индекс цен производителей и индекс потребительских цен
- 13.2.2. Индекс Дженсена, модифицированный индекс Дженсена
- § 24.2. ФОНДОВЫЕ ИНДЕКСЫ
- 11.4.4. Фондовые индексы
- 11.3.4. Фондовые индексы
- 10.3. Фондовые индексы
- Индекс прибыльности (Р1)
- Индивидуальные индексы
- Курсовые индексы
- Индексы