8.4. Робастные методы и процедуры
Многие «наилучшие» оценки в статистике (например, наиболее распространенная на практике оценка среднего значения случайной величины ) обладают тем дефектом, что они являются наилучшими лишь в случае, если выборка наблюдений получена из нормально распределенной совокупности данных и быстро теряют свои оптимальные свойства по мере отклонения распределения от нормального, то есть являются неустойчивыми к отклонениям от нормального распределения.
В качестве характеристики устойчивости оценки можно предложить понятие робастности.Определение робастности оценки. Пусть случайная величина X имеет плотность распределения вероятностей , где вид функции f известен, а ? – неизвестный параметр (может быть величиной векторной). Оценка параметра производится по n наблюдениям . В классической статистике качество оценки определяется ее дисперсией Df вычисленной в предположении, что выборка получена из генеральной совокупности с плотностью распределения вероятностей
Определим понятие ?-окрестности распределения f:
где – произвольная плотность распределения вероятностей.
Назовем оценку робастной, если для нее имеет место
То есть робастная оценка – это такая оценка, которая в наихудшем случае (когда достигается max ) имеет наименьшую дисперсию.
Нахождение робастной оценки отвечает решению, как говорят в математике, минимаксной задачи. Минимаксное значение есть гарантированный верхний порог дисперсии оценки для любого распределения f из ?-окрестности.Минимаксная стратегия широко распространена в таком разделе теории операций как теория игр. В определенном смысле робастная процедура – это «игра» исследователя с природой.
Робастная оценка среднего значения. Если параметр ? играет роль центра распределения (среднего значения), то . Робастная оценка параметра ? в этом случае находится по п наблюдениям решением следующей задачи:
Если – плотность вероятностей нормального распределения, то:
Робастная оценка в этом случае представляет собой некий гибрид оценки средней арифметической и выборочной медианы . Она совмещает в себе эффективность первой оценки и устойчивость второй. Их соотношение определяется величиной степени засорения е через величину . Если , то оценка близка к среднему арифметическому. Если , то оценка близка к выборочной медиане.
Робастная оценка имеет вид:
где – вариационный ряд выборочных значений; . Значения можно найти в таблице 2 [6].
Таблица 2
Значения уровня урезания ? = ?(?)
Робастная регрессия. Уравнение регрессии, получаемое методом наименьших квадратов, имеет существенный дефект, заключающийся в том, что при наличии грубых ошибок в данных оценки его коэффициентов сильно искажаются, то есть являются неустойчивыми к отклонениям от обычного предположения в регрессионном анализе, что ошибки в модели регрессии имеют нормальное распределение.
Коэффициенты робастной регрессии вычисляются решением задачи:
где ?(t) имеет вид (8.29).
Еще по теме 8.4. Робастные методы и процедуры:
- 36.3.2. ПРОЦЕДУРА ОЦЕНКИ БИЗНЕСА МЕТОДОМ КОМПАНИИ-АНАЛОГА (МЕТОДОМ РЫНКА КАПИТАЛА)
- Методы выполнения оценочных процедур
- 1.6. Методы и процедуры финансового контроля
- 7.2. Постулаты, процедуры и методы аудита
- Метод судейства при обосновании процедур измерения.
- Методы и процедура анализа рынка недвижимости
- 46. Общие методические подходы к организации контроля с использованием методов и процедур экономического анализа
- Методы и процедуры анализа формирования прибыли по результатам производственной деятельности
- 6.3. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ, МЕТОДЫ И ПРОЦЕДУРЫ АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ
- 49. Методы и процедуры анализа формирования прибыли по результатам производственной деятельности
- Общие методические подходы к организации контроля с использованием методов и процедур экономического анализа
- Процедуры банкротства