<<
>>

5.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ КОНКУРЕНЦИЯ

5.7.1.

ТРАДИЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КУРНО: СУЩЕСТВОВАНИЕ,

ЕДИНСТВЕННОСТЬ И ГРАНИЧНОЕ ПОВЕДЕНИЕ

Этот раздел представляет неполный обзор технического анализа и исследований, проведенных в рамках однопериодной модели Курно (неценовая конкуренция), рассмотренной в главе 5. 5.7.1.1.

СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ ЧИСТЫХ СТРАТЕГИЙ

Равновесие чистых стратегий имеет привлекательные особенности. Во- первых, оно просто. Во-вторых, ни одна фирма не испытывает ex post разочарования, узнав о выборе другой фирмы. Поэтому никакой дальнейшей корректировки не требуется, даже если фирма может изменить свои мощности. Равновесие смешанных стратегий требует, чтобы фирмы не могли изменить свои мощности (даже в сторону их увеличения), так как реализация мощности одной фирмой может оказаться неоптимальной по отношению к другим фирмам. Таким образом, они более чувствительны к возможности корректировки. Равновесие чистых стратегий привлекает пристальное внимание исследователей. С этой целью исторически рассматриваются две группы предположений. Мы будем рассматривать применение чистых стратегий в случае с двумя фирмами; это легко можно свести к большему количеству фирм. Для упрощения мы также предположим, что функции прибыли дважды дифференцируемы.

Первый подход предполагает, что функция прибыли каждой фирмы вогнута относительно ее собственного выпуска (см., например [57]). Из анализа в тексте мы знаем, что достаточным условием для этого является условие выпуклости функции затрат (C^qi) > 0) и вогнутости функции спроса (Рп < 0). При вогнутых функциях прибыли можно определить непрерывные функции реагирования Ri(qj).363 Чтобы убедиться, что эти функции пересекаются, следует допустить технические условия

Р(0) > С|(0)

для всех і (каждая фирма предпочла бы производить по крайней мере небольшое количество, если бы она являлась монополией) и

R-\0) > Д((0) = «Г

(выпуск фирмы г, который вынуждает фирму j ничего не производить, превышает монопольный выпуск фирмы і).

Эти условия, как и строгая вогнутость функции прибыли в отношении индивидуального выпуска, удовлетворяются при линейном спросе и неизменных предельных затратах, пока последние «не слишком высоки». Это подтверждается рис. 5.7.364

Замечание. Наличие равновесия чистых стратегий Курно не обосновано в отрасли с большим количеством фирм. Чтобы это понять, вспомним, что вторая

производная П* равна

4iP"(Q) + 2P'(Q)-Cl'(4i).

Предположим, что С" > 0 и что (как в приведенном здесь примере) при увеличении числа фирм спрос остается постоянным, а также, что совокупный выпуск приближается к конкурентному. P\Q) тогда сходится к строго отрицательной константе. Если qi приближается к нулю (как в предыдущем примере), П1 строго вогнута и может быть использован предыдущий результат. Если qi не приближается к нулю, а конкурентное равновесие достигается путем дублирования стороны потребления и посредством снижения наиболее эффективного масштаба производства (см. раздел 5.7.1.3), потребуется больше усилий, чтобы получить результат этого типа. Новшек и Зонненшайн [43] показали, что в их модели достигается равновесие Курно, при котором количество фирм, использующих смешанные стратегии, приближается к нулю, когда экономика дублирована.365 Скачка Вниз и несуществование

Скачки. Вверх и существование

R(qr)

Рис. 5.8.

К сожалению, функция прибыли не обязательно вогнута. Она может не быть таковой, в частности, если функция спроса «достаточно выпукла». (См. [23, 47] — яркие контрпримеры вогнутости функции прибыли и существования равновесия чистых стратегий даже при выпуклой функции затрат). Функции реагирования могут не быть непрерывными (могут включать скачки), если функции прибыли не вогнуты. Второй подход [39, 40, 46, 59] доказывает наличие симметричных фирм при выпуклой функции затрат. Ключ к доказательству состоит в том, чтобы показать: допущение о выпуклости функции затрат предполагает, что скачки в функции реагирования (которые одинаковы для всех фирм) — это скачки вверх.366 Как показано на рис.

5.8, только скачки вниз представляют проблему для доказательства, что выпуск фирмы, qy — оптимальная реакция для фирмы (симметричное равновесие чистой стратегии).

Более современный подход [42] (связанный с этим результат см. [5]) показывает, что если предельная выручка фирмы увеличивается вместе с выпуском других фирм, то имеет место равновесие чистых стратегий. 5.7.1.2.

ЕДИНСТВЕННОСТЬ

Рис. 5.9. Множество равновесий Курно.

Даже если она существует, равновесие чистых стратегий Курно не обязательно единственно (рис. 5.9). Тем не менее можно найти достаточное условие единственности. К примеру, рассмотрим случай с двумя фирмами. Предположим, что функции прибыли строго вогнуты относительно индивидуального выпуска. Дифференцирование условия первого порядка

nK#i(fy), 9j) = о

no qj дает наклон кривой реагирования:

Достаточным условием того, чтобы кривые реагирования пересекались только один раз, является то, что, где бы они ни пересекались, Я] было бы круче, чем Д2 (см. точки Л и С на рис. 5.9). В свою очередь, чтобы достаточное условие выполнялось, производные функций реагирования должны быть меньше 1 по своему абсолютному значению во всей области значений (|І2^| < 1). Таким образом, |П|-| > (П-1 достаточно для единственности.24 Это условие удовлетворяется

положительно и произвольно мало. Максимизация прибыли требует, чтобы

Я2Р(Я1 ~ е + Ы > q'2P(qi ~ є + <72)

и

Я2Р(Я1 + ? + 92) > Я2Р(ч\ + с + 92)-

і Суммируя эти два неравенства и используя разложение Тейлора первого порядка по є, \ получаем противоречие для Р" > 0. Таким образом, здесь не может быть никакого і скачка вниз. Читатель может проверить это свойство для общей выпуклой функции затрат.

24При п фирмах условие

р< > с; - ты >

її*

достаточно. В действительности это условие не требует, чтобы товары были совершен ными субститутами; см. [23]. при линейном спросе и постоянной отдаче от масштаба, когда наклон функций реагирования равен 1/2. 5.7.1.3.

ПРИБЛИЖЕНИЕ К КОНКУРЕНТНОМУ РАВНОВЕСИЮ

Ранее мы убедились на простом примере, что, когда количество фирм стремится к бесконечности, равновесие Курно приближается к конкурентному равновесию. Причина в том, что небольшая фирма более склонна увеличивать свой выпуск, чем большая, так как влияние подобного увеличения на рыночную цену для малой фирмы мало. (Хотя глобальное влияние на р от увеличения Существует несколько способов увеличить количество фирм. Один из них, уже использованный ранее, это простое умножение числа фирм. Когда технология характеризуется непостоянной отдачей от масштаба, можно умножить потребление наряду с производством, чтобы избежать неконкурентного исхода, описанного ниже, в главе 7. (Например, умножение числа фирм не делает отрасль более конкурентной, если высокие постоянные затраты и ограниченный потребительский рынок сокращают количество жизнеспособных фирм). Это было, например, продемонстрировано в [25].

Для начала можно позволить «свободный вход» в отрасль (число потенциальных фирм бесконечно, а число уже действующих фирм ограничено существующими постоянными затратами или возрастающей отдачей от масштаба сверх определенного уровня производства и размером рынка), а также или умножить сторону потребления, или снизить минимально эффективный масштаб производства, с тем чтобы стимулировать рост числа вступающих. Здесь не будет анализироваться вся литература по этой проблеме (см. [30, 38, 43, 48], а также материалы апрельского симпозиума 1980 г. в «Journal of Economic Theory»); заметим, что в основном эта литература касается больших структур. В частности,

начиная с [25] приводимые результаты относились к общему равновесию.368 Мы можем рассмотреть простой пример частного равновесия, приведенный в [43].

Предположим, что в первоначальном состоянии экономики каждая фирма имеет U-образную кривую средних затрат C(q)/q, как показано на рис.

5.10. При производстве, равном нулю, затраты равны нулю. Наиболее эффективный масштаб производства (MES), т. е. объем выпуска, который минимизирует средние затраты, можно положить равным 1 без потери общности. Рис. 5.10. Пусть с — минимальные средние затраты.

Сохраним сторону потребления неизменной (спрос р = P{Q)) и сократим MES. С этой целью мы введем совокупность функций затрат СоХя) — q/a). MES Са есть а, а минимальные средние затраты все еще с.369

Для любой а мы допускаем свободный вход. Число потенциальных фирм бесконечно. Все они определяют объем выпуска одновременно. Конечно, для данной а только ограниченное число фирм войдет (будет действовать) в отрасли из-за первоначально возрастающей отдачи от масштаба. Равновесие Курно предполагает, в частности, что все действующие фирмы (т. е. фирмы, выбирающие qi > 0) получают неотрицательную прибыль и что любая недействующая фирма получала бы неположительную прибыль, если бы она вошла.

Когда а приближается к нулю, в отрасль могут входить фирмы с небольшими масштабами производства, т. е. возможно производить небольшой выпуск при удельных затратах с. Это побуждает к более конкурентному поведению. Конечно, если равновесие имеет место (как это достигается — см. [43] или замечание в разделе 5.7.1.1), общий равновесный выпуск Q должен принадлежать интервалу [Q* — a,Q*], где Q* — выпуск Вальраса в ограниченной экономике: Q* - D(c). Чтобы это представить, предположим, во-первых, что Q > Q*. Тогда

P(Q) < с < ------ для всех qi > 0.

Яі

Таким образом, действующие фирмы получают отрицательную прибыль. Для них было бы лучше выбрать qi = 0 и получать нулевую прибыль. Теперь предположим, что Q < Q* — а. Рассмотрим недействующую фирму г; она получает нулевую прибыль. Вступив в отрасль с масштабом aP(Q + а) — Са(а) > ас - Са(а) = а = 0,

что оказывается противоречием. Таким образом, можно достигнуть конкурентного равновесия в пределе, когда а стремится к нулю.

Харт [29] отмечал, что наличие большого числа конкурентов не обязательно для достижения конкурентного исхода.

Примечательным является то, что если фирма мала относительно своего рынка сбыта, она слабо влияет своими решениями на рыночную цену. Это утверждение особенно ярко подтверждается в случае с монопольным производителем. Предположим, что производитель имеет 10 единиц товара для потенциальной продажи (т. е. его мощности ограничены 10 единицами, а его предельные затраты равны нулю до выпуска 10 единиц и бесконечны в дальнейшем). Если есть 10 потребителей с единичным спросом и оценками 10, 9, 8..., то монополист продает только монопольный объем выпуска — 5 единиц. Если сторона потребления реплицируется по крайней мере 10 раз (скажем, существует 10 идентичных островов, на которых монополист может продавать), монополист может продавать свои 10

единиц по цене 10. Таким образом, он не вносит искажения в экономику.

%щ/К

Предельная Выручка. (Р(Ц)+%Р'(Ц))

с'(г)=с'(ч)

Спрос (P(q:))

Рис. 5.11.

Рис. 5.11 представляет этот результат в случае непрерывно возрастающих предельных затрат. Этот рисунок воспроизводит сторону потребления; для экономики, состоящей из А' > 1 островов, требуемое количество есть q — К D(p). (К играет роль 1/а в предыдущем утверждении). Таким образом, при производстве q рыночная цена

P(q/K) = P(q),

где q = q{K — «выпуск на остров*. Функция затрат каждого острова как функция q может быть записана так:

е1Й) шШ = сЩй.

Таким образом, предельные затраты С'кіч) = С'(К7[) сдвигаются на северо- запад. Монополист определяет объем выпуска для каждого острова, чтобы уравнять предельную выручку с предельными затратами. Когда К большое, фирма в основном действует в верхней части кривой спроса и, таким образом, получает цену (приблизительно равную самой высокой оценке) уже как данную.

Аллен и Хеллвиг [1] исследовали ценовую игру с ограничениями в мощностях, при которой число фирм стремится к бесконечности. Они предположили, что мощности каждой фирмы являются экзогенной константой (мощности не определяются на первом этапе), и показали, что равновесное ценовое распределение приближается (в распределении) к совершенно конкурентному исходу.370 5.7.2.

ЦЕНОВЫЕ ИГРЫ ПРИ ОГРАНИЧЕНИИ МОЩНОСТИ *

Здесь мы кратко рассмотрим часть искусного построения Крепса и Шейнк- мана [35], которое показывает, что при определенных обстоятельствах исход

Курно может быть достигнут в ценовых играх с ограничениями мощности. Прежде всего мы рассмотрим ценовую игру с (жесткими) ограничениями мощности и эффективным рационированием. Мы покажем, что фирмы продают в соответствии с их мощностями в той области, где мощности не очень велики, и что в двухпериодной игре выбор мощностей в первом периоде ограничивается этой областью, а исход эквивалентен исходу Курно. Затем мы обсудим синхронизацию игры. 5.7.2.

Х. ЦЕНОВАЯ ИГРА

Предположим, что существуют две фирмы (г = 1,2). Фирма г имеет жесткое ограничение мощности q±; она может производить любое количество gt- < qt при удельных затратах с. Она не может произвести больше, чем qj. Для упрощения предположим, что с = 0. Предельные затраты производства представлены на рис. 5.1. Фирма продает в соответствии со своими мощностями, если qi = 9t- Допустим, что рационирование эффективное.371 Функция спроса Р вогнута (Р" < 0), а фирмы определяют свои цены одновременно.

Анализ будет следующим. Сначала мы рассмотрим существование равновесия чистых стратегий (т. е. фирмы не выбирают цены случайно). Мы покажем, что подобное равновесие имеет место только тогда, когда мощности «не слишком высоки» (т. е. принадлежат области, расположенной чуть выше начала координат в пространстве мощностей). Равновесие в этой области состоит в том, что обе фирмы назначают цену, при которой спрос равен совокупным мощностям. Таким образом, обе фирмы сбрасывают свои объемы выпуска на рынке способом, аналогичным поведению Курно (единственное отличие состоит в том, что фирмы, а не аукционист, назначают рыночную цену). Следующей ступенью анализа является характеристика равновесия (обязательно при смешанных стратегиях) «высоких» мощностей. Это достаточно сложно, но лемма показывает, что прибыль фирмы с самыми высокими мощностями равна прибыли последователя (follower) Штакельберга (т. е. прибыли, получаемой этой фирмой, когда она оптимально реагирует на выпуск другой фирмы, который, как предполагается, равен мощностям последней). Анализ предварительного выбора мощностей в таком случае оказывается простым. Легко заметить, что мощности или количества Курно приводят к ценовому равновесию в области чистых стратегий и что если фирма определяет для себя мощности Курно, то и для другой фирмы лучший выбор — мощности Курно.

Лемма 1. В равновесии чистых стратегий р\ = р2 = Р(Я\ + 9г)* Фирмы продают в соответствии со своими мощностями.

Доказательство. Сначала предположим, что р\ = р2 = р > P(q 1+92)* Дена тогда слишком высока, поэтому по крайней мере некоторая фирма і не может продавать в соответствии с мощностями: <7, < Р2 = р < Р{Цх + q2), то обе фирмы строго разделяют своих клиентов. Несколько увеличивая цену, каждая фирма все еще могла бы продавать в соответствии со своими мощностями и получила бы большую прибыль. И последнее, pi < pj невозможно: фирма с более низкой ценой обычно стремится повысить ее, насколько позволяет ограничение мощности; или, иначе, pi есть монопольная цена фирмы г при затратах с — 0, причем при этой цене фирма г покрывает весь спрос. Таким образом, фирма j не получает прибыли, тогда как она могла бы получить строго положительную прибыль, СНИЗИВ цену ДО Pi — є. Лемма доказана.

Следующая простая лемма связана с конкуренцией Курно. Пусть Ri(qj) — оптимальная реакция фирмы г на выпуск qj в одновременной однопериодной количественной игре при отсутствии затрат накопления мощностей: Я,-(qj) максимизирует q%P(qi -f qj). Так как кривая спроса вогнута, Ri однозначная и убывающая (см. раздел 5.4).

Лемма 2. В равновесии чистых стратегий фирма г никогда не назначит цену ниже P(qj -f Ri(qj)) в ценовой игре с ограничением мощности.

Это значит, что нет смысла назначать (низкую) цену, которая побудит фирму производить больше, чем при оптимальной реакции на мощности другой фирмы (если она может это сделать).

Доказательство. Пусть р{ — цена, назначаемая фирмой г. Если фирма j назначает цену pj > р,, то фирма г назначает свою монопольную цену и фирма j не получит прибыли (тогда как она могла бы получить прибыль, назначив цену Pi - є). При

Pi = pj < P(qj + Ri(qj)) фирма і может несколько увеличить свою цену и получить прибыль

(pi + О?. > РіЯі,

если ее мощности ограничены. Если мощности фирмы і не ограничены, то у фирмы j они должны быть ограничены; по крайней мере одна фирма должна быть ограничена, так как в противном случае они снизили бы цены. Поэтому прибыль фирмы і есть

Pi(D{pi) - qj) = qiP{qi + 4j) < Ri{qj)P(Ri(qj) + qj),

где неравенство следует из определения функции реагирования. Если фирма j назначает цену pj < pt, прибыль фирмы і будет

Pi{D(pi) - qj)

(или piqij если <7, < D(pi) - qj\ но, как отмечено выше, для фирмы со строго ограниченными мощностями выгоднее несколько увеличить свою цену, поэтому наг* не следует рассматривать этот случай). Так как мощности фирмы і не ограничены, мы можем переписать ее прибыль как

qiP(qi + )•

Но это есть прибыль Курно для выпуска qj, итак

qi — Ri{qj)

согласно определению функции реагирования. Следовательно, pi = P(qj + +Ri(qj)). Лемма доказана.

Леммы 1 и 2 подразумевают, что равновесие чистых стратегий имеет место, только если для всех г

Я і < Ritij)-

Чтобы увидеть это, положим qi > R{(qj), но допустим, что равновесие чистых стратегий существует. Согласно лемме 1,

Pi = P{q\ + Тогда

Рг < P(qj + Ri(qj)),

что противоречит лемме 2; следовательно, от противного, равновесие чистых стратегий не может существовать. Выше любой кривой реагирования может быть только равновесие «смешанных стратегий» (рис. 5.12). И наоборот, если мощности находятся ниже обеих кривых реагирования, р = р\ = р2 = P(q\ +^2) есть равновесие. Снижение цены бессмысленно, так как фирмы не могут продать больше. Повышение цены подразумевает, что продаваемое количество ниже оптимальной реакции:

щ p(D(p) - Qj) = Qip(Qi + Qj)

и

Qi < qi < Ri(qj)-

В частности, если мощности есть мощности Курно (<7*, q%) (соответствующие предельным затратам с), то равновесная цена есть P(q* + q%)• В более общем смысле — в области чистых стратегий редуцированная форма функции прибыли есть точная редуцированная форма Курно.

Последняя особенность неприложима к пропорциональному рационированию. Предположим, что мощности есть мощности Курно (q*, q%) и что обе фирмы назначают цену р* ~ P(q^ + qj). Прибыль фирмы 1 при р > р* есть

р Н (^)1 = bi?(p)! Gr + tf ) •

Отсюда для фирмы 1 выгоднее всего назначить монопольную цену (максимизирующую pD(p)), которая, как следует из раздела 5.4, превышает цену Курно р*. Это предполагает, что анализ не может быть распространен на пропорциональное рационирование. См. раздел 5.7.2.3.

За пределами области чистых стратегий можно наблюдать равновесие смешанных стратегий. (Выводы относительно равновесий смешанных стратегий при прерывных функциях выигрыша см. в [14, 15]). Мы не будем воспроизводить конструкцию равновесия Крепса и Шейнкмана, мы просто охарактеризуем равновесное поведение с тем, чтобы показать, что инвестиции в мощности выше области чистых стратегий на первом этапе не в интересах фирмы.

Смешанные стратегии для фирмы і представляет кумулятивное распределение цен Fi(pi) в некотором интервале [р,,pj].30 Чтобы эта стратегия была оптимальной для фирмы г, она должна представлять собой случай, когда фирма і выбирает только ту цену, которая максимизирует ожидаемую прибыль фирмы (т. е. все выбираемые цены приносят один и тот же — оптимальный — выигрыш). Описание смешанных стратегий см. в главе 11.

Лемма 3. В области смешанных стратегий (qi > Ri{qj) по крайней мере для некоторой фирмы г) фирма, имеющая самые высокие мощности (скажем, г), получает прибыль, равную прибыли последователя Штакельберга:

ІГ = ПГ(5У) = Пг(я,)Р(ч, + Я,'(?,•))•

Доказательство леммы 3 (схема которого представлена ниже) слишком длинно и запутанно; его следует пропустить при первом прочтении.

Доказательство (схема). Пусть р. и рг обозначают верхний и нижний пределы поддержки оптимальной стратегии фирмы г. Во-первых, покажем, что = р2 = р и при цене р каждая фирма продает в соответствии с мощностями или ее оппонент назначает цену р с вероятностью 0. Если pi < р., нам ясно из предыдущих аргументов, что р. должно быть монопольной ценой фирмы І. Так как монопольная прибыль самая большая, которую может получить фирма г, она назначает цену р. с вероятностью 1, а фирма j никогда не получит прибыли;

30Отметим, что Ft возрастает. Технически требуется, чтобы /*’*(•) была непрерывна справа, т. е. для всех р,

Fi(pi) = Иш Fi(p).

P—Pi

Элемент pi определяется

Fi(pi) > lim_Fi(p). p—p,

Равновесные распределения фактически имеют плотности при возможном положении элемента на верхней границе поддержки. однако фирма j могла бы получить строго положительную прибыль, снизив цену дор. -?, что противоречит утверждению о том, что р. — самая низкая граница поддержки оптимальной стратегии для фирмы j. Во-вторых, если фирма назначает цену р с положительной вероятностью, для фирмы і будет выгоднее назначить цену р — ?, если при цене р она не может продавать в соответствии со своими мощностями. Таким образом, назначая цену р, каждая фирма і может продать с вероятностью 1. Так как р — оптимальная цена,31 прибыль фирмы і будет pqОтметим, что р > Р(Я\ +Я2)‘

Теперь рассмотрим самые высокие цены: рх и р2. Предположим, что pt > pj или что pj = pj и что фирма j назначает цену pj с вероятностью О. Прибыль фирмы і есть _ _ _ _

PiWPi) - 9>) = ЯіР(Яі + qj)> где qi — количество, продаваемое по цене р^. Отсюда <7, = /2г(П (?,') Н «,(?;)/>(?, + Я,(?,)).

(Верхний индекс F означает, что фирма г — последователь Штакельберга, т. е. то, что она реагирует на выбор фирмой j qj. См. главу 8). Но при равновесии смешанных стратегий все оптимальные стратегии должны приносить фирме одинаковую прибыль, в частности

П F() = РЯі• (5.16)

С другой стороны, предположим, что qj > q{. Тогда, назначая P(qi -f /2J(^I)), фирма j может гарантировать себе nF(что33

Р(ЯІ + Д>(?»)) > P(QJ + Ri(qj))-

Таким образом, мы имеем

??,> Пг(5,). (5.17)

Исключая р, получаем ПF(qj)qj > Пг(д^)д^. Посредством простых алгебраических преобразований34 мы получаем тогда, что qi > qj — противоречие.

31 По условию непрерывности, если р — инфимум (инфимум — наименьшее значение. — Прим. ред.) скорее, чем минимум.

32Если qi > Ri(qj), фирма г могла бы повысить свою цену до

P{qj + Rtiqj))

и получить большую прибыль. Если qi < Ri(qj), q{ — q( и pi = P(qx + q2) = p, to равновесие чистых стратегий — противоречие.

33Следующее неравенство имеет место благодаря тому факту, что кривые реагирования идентичны и имеют наклон < 1, что может быть легко продемонстрировано путем дифференцирования условий первого порядка для равновесия Курно.

34Предположим, qi < q}; это подразумевает, что q- > R} (Д = np(5,-)»j - Пг0Ш = Г’ -f [«К(?)Р(? + R(q))]dq =

jj. d4

’’ {R(q)P(q + R(q)) + qR(q)P'(q + R(q)))dq, Или каждая фирма играет изолированно при р = pi — pj- Однако при равновесии смешанных стратегий р > р\ и из нашего предыдущего анализа р > P(qi -f Qj)- Таким образом, при цене р каждая фирма не может продавать в соответствии со своими мощностями со строго положительной вероятностью. Следовательно, каждой фирме было бы выгоднее назначить цену более низкую, чем р, а не р.

Таким образом, мы можем заключить, что фирма с самыми высокими мощностями — скажем i(qi > qj) — получит прибыль TlF(qj).

Чтобы построить равновесие при смешанных стратегиях, обратим внимание на возрастающую вероятность распределения для каждой фирмы в (совпадающем) интервале [р,р], такого, что каждая фирма безразлична к ценам в этом интервале. (См. ~[35]). Нам не понадобится этого делать. Принимая во внимание предыдущую характеристику, нам следует только знать, что равновесие существует и не нужно обращать внимания на его конкретную форму.

5Z7.2.2. ВЫБОР МОЩНОСТЕЙ

q[P(q + q**) - со - с],

Рассмотрим теперь предварительный и одновременный выбор мощностей; пусть со > 0 обозначает предельные затраты ввода мощностей. Покажем, что исход Курно

когда q** максимизирует

есть равновесие (здесь с = 0).

На рис. 5.13 показаны кривые реагирования, когда затраты мощностей являются поглощенными (sunk) и когда они таковыми не являются. Во втором периоде ценовой игры затраты мощностей будут уже поглощенными и, следовательно, не относятся к делу (прошлое есть прошлое). Каждая фирма предпочла бы выпустить на рынок больше продукции, чем в случае, если бы ей пришлось платить за мощности. Поэтому кривые реагирования сдвигаются вверх между

где R обозначает функцию реагирования и используется теорема об огибающей (R(q) — максимизирующая прибыль фирмы, которая реагирует на q). Используя условие первого порядка для равновесия Курно, мы получаем

ч,

Если g, > R(q{), тогда для всех q > qi мы имеем R(q) < #(g,) < g, < q и, таким образом, Д < 0. Затем предположим, что qi < Л(д,). Из прим. 32 следует, что qj > Д-1(д1).

Отсюда

Ж?) <Яі < R 1(Яі) < Я- —

RP'(R — q)dq < R 1 (g,)^P(q{ + R г(^)) - Д(д,)д,Р(^ + Д(9і)) < 0;

поскольку ?/?((?,) является наилучшей реакцией на q{, тогда R 1 (

первым и вторым периодом. В частности, R{q**) > q**, где R обозначает функцию реагирования второго периода.

Предположим, что фирма і выбирает q**. Фирма j, если она выбирает q < < R(q**), получает

?[**(«+ «’*) - со] < q*’[P(2?**) - со],

где R все еще обозначает функцию реагирования второго периода. Если q > > R(q**), фирма j получает

nF(,**) = Д(ї**){Р[Д(ї**) + ,**] - со}.

Но, по определению, q**, q**(< #(<7**)) — самое удачное реагирование в первом периоде на q**. Поэтому

пг(«**) <Г№")-со].

Мы можем заключить, что равновесие Курно при затратах со является равновесием первого периода в игре с мощностями. И согласно анализу ценовой игры, цена во втором периоде равна P(2q**).

Чтобы доказать единственность выбора мощностей, потребуются несколько большие усилия (см. [35]). 5.7.2.3.

ОБСУЖДЕНИЕ ПРАВИЛА РАЦИОНИРОВАНИЯ

Дэвидсон и Денекер [17] доказывают, что практически для любого правила рационирования, за исключением эффективного, исход Курно не может возникнуть как равновесие двухпериодной игры. Их рассуждения схематически изложены ниже: если мы обозначим с и со производственные затраты и затраты ввода мощностей, то условием первого порядка для максимизации прибыли фирмы 2 в игре Курно является при qi = <72 = q**• Пусть р** = P(2q**) обозначает цену Курно и пусть D(p2\p\) обозначает остаточный спрос фирмы 2, когда она назначает цену р2 > р\, Заметим, что D(p**\p**) = q**, если обе фирмы аккумулировали мощности Курно в первом периоде (необходимое условие для исхода Курно). Предположим, что D(p2\p\) дифференцируемо по р2 справа от pi, и допустим, что обе фирмы аккумулировали мощности Курно и назначили цену Курно р**; увеличение прибыли фирмы 2 связано с незначительным увеличением цены выше р** пропорционально

А = D(p**\p**) + (р** - c)D'(p**\p**).

(Вспомним, что инвестиционные затраты являются поглощенными во втором периоде).

Следуя Дэвидсону и Денекеру, предположим далее, что для р2, превышающего р**,

Я(Р2ІР**) > 0(рг) - ?**;

значит, остаточный спрос превышает спрос, получаемый согласно правилу эффективного рационирования. Суть состоит в том, что если рационирование мгновенно и ничего не стоит, то q** потребителей обслуживаются фирмой 1, а остальные переходят к фирме 2. Самое плохое, что может случиться с фирмой 2, это то, что фирма будет обслуживать q** потребителей с самыми высокими оценками. Это именно то, что происходит при эффективном рационировании. Таким образом, эффективное рационирование дает самую низкую кривую остаточного спроса.372 Сделаем чуть более сильное предположение, что

й'(р**Ю > ?>V) =

где левая часть относится к кривой остаточного спроса, а правая — к кривой обычного спроса. Используя условие первого порядка равновесия Курно, мы получаем

Л> с° р'( 2q**)

Теперь предположим, что со = 0. Тогда А > 0. Таким образом, у фирмы 2, скажем, есть стимул поднять цену выше цены, очищающей рынок при мощностях, соответствующих исходу Курно. Исход Курно не может быть равновесием двухпериодной игры. В общем случае это выполняется, если со мало и кривая осюточного спроса лежит достаточно выше кривой, полученной для эффективного правила рационирования. 5.7.2.4.

ОБСУЖДЕНИЕ ВЫБОРА ВРЕМЕНИ

Модель ценовой конкуренции, происходящей после конкуренции мощностей, отражает ту мысль, что цены приспосабливаются быстрее, чем мощности. Таким образом, при выборе цен может иметь смысл рассматривать мощности как заданные. Однако важным предположением предыдущего анализа является то, что конкурентам известны мощности фирмы до ценового периода. Тогда они действуют как индикатор цены, которую фирма собирается назначить. Если мощности несовершенно наблюдаемы конкурентами, это свойство исчезает и формально все происходит так, как будто мощности и цены выбираются одновременно (хотя это не обязательно должно быть так).

Гертнер [26] анализирует игры с одновременным выбором количества и цены. Каждая фирма і выбирает количество qi и цену pi без предварительного исследования выборов, сделанных конкурентами. Хотя он допускает убывающую и возрастающую отдачу от масштаба, мы сосредоточимся на более простом случае постоянной отдачи, в котором для фирмы і производство qi продукта стоит cq{. И для простоты предположим, что имеются только две фирмы.

Очевидно, что равновесие чистых стратегий не существует. Рассуждения проводятся в духе Бертрана—Эджуорта. Если бы существовало равновесие чистых стратегий, две фирмы были бы вынуждены продавать товар по одной и той же цене. В противном случае фирма, цена у которой ниже (скажем, фирма г), получила бы весь рынок; зная, что другая фирма назначала более высокую цену, она бы уверенно смогла удовлетворить весь спрос по более низкой цене. Однако возможны только две ситуации: либо р,- = с и фирма г улучшила бы свое положение, хотя бы немного увеличив цену, либо pi > с vi фирма j могла бы получить строго положительную прибыль, продавая товар по более низкой, чем у фирмы г, цене. Далее, в равновесии чистых стратегий было бы необходимо, чтобы р* = Р2 — с> если бы рыночная цена превышала с, каждая фирма могла бы увеличить свою прибыль, назначив немного более низкую цену и покрыв весь рынок. Но конкурентная цена также не может быть равновесной. По крайней мере одна фирма будет предлагать строго меньше, чем D(с) (иначе фирмы будут терять деньги); поэтому другая фирма может чуть увеличить цену, все еще имея покупателей и получая положительную прибыль.

Гертнер показал, что существует (единственное) равновесие смешанных стратегий. Оно подобно равновесию Бертрана, в котором фирмы получают нулевую ожидаемую прибыль.373 Это напоминает равновесие Курно в том, что ожидаемая цена превышает конкурентную цену с. (Этот второй результат вытекает из того факта, что фирмы никогда не назначают цену ниже с и (с, с) не является равновесием). Качественное отличие от случая, когда количества (мощности) наблюдаемы, состоит в том, что фирма не может принять на себя обязательство не «наводнять рынок», выбрав ограниченные мощности. Это повышает конкурентное давление и снижает прибыль, как в равновесии Бертрана. Фирма, которая в конце концов назначает самую низкую цену, снабжает весь рынок 1 и получает положительную прибыль, а фирма с более высокой ценой получает отрицательную прибыль (производит и не продает). Следующее упражнение демонстрирует логику этого доказательства.

Упражнение 5.9**. Рассмотрим одновременную количественно-ценовую игру двух фирм. Пусть р обозначает верхнюю границу (supremum) цен, при которых имеется спрос: D(p) = 0. Найдите равновесие смешанных стратегий. 1.

Покажите, что обе фирмы получают нулевую прибыль. (Указание: рассмотрите самую низкую и самую высокую цену, которую назначает каждая фирма). 2.

Предположим, что каждая фирма і играет в соответствии с некоторым непрерывным распределением Fi(p) на [р^рг] (что может быть продемонстрировано). Покажите, что каждая фирма производит D(p), когда она назначает цену ру если другая фирма также производит и удовлетворяет спрос по цене, которую она назначает. 3.

Покажите, что F(p) = 1 — cfp для р < р и F(p) = 1 — это симметричное распределение равновесной цены. Зависят ли эти результаты от правила рационирования?

И последовательные, и одновременные количественно-ценовые игры ведут к равновесию смешанных стратегий. Это свойство несколько неудовлетворительно, если действительно считать, что цены могут изменяться гораздо быстрее, чем мощности. При смешанных стратегиях одна фирма обычно в конце концов назначает цену более высокую, чем ее конкурент, и имеет небольшой остаточный спрос или вовсе не имеет его. Очевидно, что эта фирма будет пытаться реагировать на такую ситуацию и снизит цену, чтобы увеличить свою рыночную долю. Таким образом, смешанные стратегии требуют динамики цен. Действительно, когда Эджуорт ввел ограничения на мощности, чтобы избежать парадокса Бертрана, он предположил возможность ценовых циклов, а не использования смешанных стратегий. Другим свойством, заслуживающим внимания, когда определение мощности принимает форму производства до продажи и когда игра, в которой принимаются решения о мощностях и ценах, повторяется, является возможность изменять производственные запасы. 5.7.2.5.

КОНКУРЕНЦИЯ ЗА РЕСУРСЫ

Ранее мы предполагали, что у фирм на рынке продукции были независимые функции затрат. При некоторых обстоятельствах они могут соперничать за один и тот же ресурс (ресурсы), в отношении которого они имеют монопсоническую власть. Тогда затраты фирмы, связанные с получением ресурса, зависят от стратегии приобретения ресурсов другой фирмы. Важным свойством является то, что каждая фирма может перебить цену своих конкурентов на рынке ресурсов и лишить другие фирмы доступа к предложению ресурсов (или по крайней мере сделать этот доступ дороже). Если ресурсы могут быть идентифицированы с мощностями (вспомните оптовиков, покупающих урожай у фермеров, или производителей конечного товара, покупающих оборудование у его изготовителей), каждая фирма может ограничить мощности своих конкурентов, повысив цену поставщиков ресурсов. Сталь [56] предполагает, что отрасль, предлагающая ресурсы, является конкурентной, и ставит еще некоторые условия; он показывает, что исход двухпериодной игры, в которой фирмы в первом периоде уста навливают цены на ресурсы (мощности), а во втором выбирают цены, является конкурентным. Как и в равновесии Бертрана, даже две фирмы, производящие конечный продукт, не могут предотвратить падение цены до уровня, при котором предельная готовность потребителей платить за продукт равна предельным затратам предложения конечного продукта.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

Упражнение 5.1

Во-первых, не может быть равновесия, В котором и Pi И Р2 строго выше С2 (по тем же причинам, что и в случае симметрии). Во-вторых, фирма 2 не назначит цену ниже с2 (она получила бы отрицательную прибыль, если бы продавала товар).3' В-третьих, фирма 1 может гарантировать себе прибыль, приближаясь как можно ближе к (с2 — с\ )D(c2), назначив цену с2 — є (где е — малое положительное число). Но так как рыночная цена (минимум из двух цен) не превышает сг, эта прибыль — максимум того, что может получить фирма 1. Имеет место «проблема открытости». Если не предположить, что по общей цене с2 фирма 1 покрывает весь спрос, равновесия в строгом смысле не существует — фирма 1 захочет выбрать г как можно ближе к нулю, но не равное нулю. Такого є не существует. Но это — техническая деталь. Можно определить равновесие как предел, так что р\ = с2% и прибыль фирмы 1 равна (с2 — сі)1>(с2).374

Когда pm(ci) < с2, фирма 1 может назначить свою монопольную цену, не беспокоясь об угрозе со стороны фирмы 2.

Упражнение 5.2

Предположим, что фирма 1 назначает цену

v* = і - (?i +ч2) >

Таким образом, прибыль фирмы 2 равна

Очевидно, что у фирмы 2 нет стимула назначать цену ниже р*. Предположим, что она назначает цену р > р*. Остаточный спрос равен

Это означает, что фирма 2 должна выбрать р — 1/2 (что является монопольной ценой при отсутствии ограничения мощности). Однако р* > 1/2. Из-за вогнутости своей целевой функции выше р* лучшее, что может сделать фирма 2, это назначить цену р*.

Упражнение 5.3 1.

q = 1/4 ==» IIі = 1/16. 2.

При дуополии <7=1/3 =>• П375 = 1/9 < 2 • 1/16. 3.

Очевидно, что монополия будет успешнее: она получит агрегированную прибыль, равную 1/4. 4.

При ценовой конкуренции фирма, производящая два взаимозаменяемых продукта, назначает на эти продукты цены более высокие, чем назначили бы две отдельные фирмы. Это происходит из-за того, что при назначении цены на один продукт фирма интернализует снижение спроса на другой продукт, связанное со снижением цены. Далее, если имеется третья фирма, производящая третий, дифференцированный, продукт, эта фирма назначает более высокую цену на свой продукт, если другие два продукта продаются одной и той же фирмой. Поэтому слияние здесь является «стратегией щенка* («puppy-dog strategy»), говоря языком главы 8. Сливающиеся фирмы становятся менее агрессивными

и, следовательно, вызывают менее агрессивную реакцию третьей фирмы.

Более подробно о поглощениях и конкуренции Курно см. [16, 50, 58], о поглощениях и равновесии Бертрана см. [19].

Упражнение 5.4 1.

Пусть с\ = w-j-r и С2 = 2w-\-r обозначают удельные затраты. В равновесии Курно

1 — 2сі — с2 1 — 2с2 -f сі

?. = j и ?2 = -

ИЛИ

1 — г 1 — г — 3 w

«. = — И ї2 = —. 2.

IT = шах{^і [1 - qi - q2 - (г + w)]}.

її

Из теоремы об огибающей дП

dw

Изменение w имеет два эффекта: оно увеличивает затраты фирмы 1 и ослабляет стратегическую позицию фирмы 2. Так как у фирмы 2 высокая трудоинтен- сивность, она должна значительно сократить объем выпуска. В общем случае может доминировать любой из двух эффектов.

Упражнение 5.5 2.

Объемы выпуска двух фирм находятся решением П1 = max [91(1 - qi - q2) + хг(а - хг) -

П2 = шах[92(1 - Ч\ - Чг) ~ ~~]•

{Ы *

Условия первого порядка дают решение.

Из теоремы об огибающей

сШ1 dq2 q\

+ 2Т + І1-

Однако при а = 1/4 Яі = О, поэтому cffl1 /da < 0.

Интерпретация. Когда а = 1/4, фирме 1 безразлично, продавать одну единицу на рынке 2 или не продавать (так как Р(0) — а — 1/4 = МС). Но «стратегический эффект* играет против фирмы 1: фирма 2 знает, что при а — 1/44-е фирма 1 продает небольшое количество продукта на рынке 2 и, следовательно, имеет более высокие предельные затраты. Поэтому фирма 2 увеличивает объем выпуска. Если бы фирма 1 могла оставаться вне рынка 2, она бы так и поступала (при а = 1 /4 + є). Это воздержание является примером стратегии «тощий и голодный вид* («lean-and-hungry-look-strategy*) («будь худым, чтобы оставаться агрессивным*), развитой в главе 8.

Упражнение 5.6

! = Еі(р~сііїі = Еі<*і = Ян

Я pQ е е

Р ~ ci р> 2.

Li — — qt

р Р

означает, что

L = Y,C,,L, = ^-

Упражнение 5.7

Объемы выпуска и прибыли выведены в разделе 5.4. Заметьте, что

1 2 Q = qi + q2 = -(2 - сі - с2) = -(1 - с).

Таким образом, общий выпуск не зависит от степени асимметрии затрат. Пусть фирма 1 будет фирмой с низкими затратами: с і < с < с2. Когда с\ снижается (а с2 = 2с - сі повышается), q\ повышается, a q2 снижается. Поэтому c*i повышается, а «2 снижается. Таким образом, любой индекс концентрации, удовлетворяющий критерию Лоренца (как три индекса, упомянутые в тексте), возрастает.

Общая прибыль

П = j[18ci(ci - 2с) + (2 - 4с + 20с2)].

П — выпуклая по cj функция с минимумом в с\ = с.

Упражнение 5.8 1.

W равняется чистому потребительскому излишку плюс прибыль отрасли или валовому потребительскому излишку минус общие затраты. Изменение в валовом потребительском излишке равно p8Q, где 8Q = 53?= і ^9*» изменение в затратах равно 53?= і 2.

Максимизируйте 8W при ограничении

і=і

8W в этом случае называется градиентным показателем функционирования отрасли (industry performance gradient index).

Лагранжиан равен

?[(p-C{)%-A«*?] + Afc.

i=l Получаем Таким образом,

Ап - Р~С'>

6qi - ~~2Х~

Используя вышеуказанное ограничение, получаем

EL.(p-c')2

4А2

Подставляя Л, получаем

№ = ру/к.

где є — эластичность спроса.

Рассмотрение малых изменений обычно (неформально) оправдывается возможностью того, что экзогенные переменные (например, затраты), лежащие в

основе конкуренции Курно, изменяются медленно и что те из этих переменных, которые контролируются правительством, должны изменяться медленно (по информационным причинам; в частности, литература по налоговой реформе подчеркивает, что эластичности спроса и предложения известны только локально, а это делает радикальные изменения опасными).

То, как связаны изменения экзогенных переменных и изменения объема выпуска, остается открытым вопросом. В частности, необходимо посмотреть, насколько близко действительное изменение в 6q, вызванное (скажем) изменением в политике, подходит к изменению, которое максимизирует 6W при данном ограничении нормы. Это упражнение позволит нам только оценить, действительно ли большие потенциальные улучшения в благосостоянии связаны с более высокими индексами концентрации.

Другие примеры типов конкуренции и индексов см. в [13].

Упражнение 5.9

Примем «произвольное» правило рационирования. 1.

Обозначим через р и pi нижнюю и верхнюю границы поддержки смешанной стратегии фирмы г.

Сначала предположим, что р± > pj или pi = pj и фирма j назначает цену р} с нулевой вероятностью. Тогда фирма і получает нулевую прибыль, поскольку при назначении ею цены р, она продает с нулевой вероятностью. Далее, фирма j также получает нулевую прибыль; либо р. — с, либо р. > с (в последнем случае фирма могла бы обеспечить себе положительную прибыль, назначив цену р — є И производя D(p . — є) — Противоречие). Поэтому остается ТОЛЬКО pi = Pj, и обе фирмы играют изолированно при этой цене (т. е. играют по этой цене с положительной вероятностью). Если D(pj) > 0, то каждая фирма может немного снизить свою цену, все еще производя ?>(pj), и быть способной продать весь объем ^(р,), если другая фирма назначает цену pi (что она делает с положительной вероятностью). Поэтому pi = pj = р, где D(p) = 0. И снова ни одна фирма не получает прибыли. 2.

Если фирма j производит D(pj), когда она назначает цену pj, потребители никогда не рационируются фирмой j, а прибыль фирмы г при назначении ею цены pi равна

{[1 - Fj(pi)]pi - c}qi, если 0 < qi < D(pi),

и

[1 - Fj(pi)]piD(pi) - cqi, если qi > D{pi).

Очевидно, что оптимальным количеством при цене pi будет qi — D(pi) (или нуль). 3.

Если F(p) — 1 — с/p для всех р из [с, р],

{[1 - F(p)]p - c}D(p) - 0.

Каждая фирма играет изолированно при цене р.

ЛИТЕРАТУРА 1.

Allen ВHellwig М. Bertrand—Edgeworth Oligopoly in Large Markets j J Rev. Econ.

Stud. 1986. Vol. 53. P. 175-204. 2.

Atkinson A. B. On the Measurement of Inequality // Journ. Econ. Theory. 1970. Vol. 2.

P. 244-263. 3.

Bain J. Relation of Profit Rate to Industry Concentration : American Manufacturing,

1936-1940 // Quart. Journ. Econ. 1951. Vol. 65. P. 293-324. 4.

Bain J. Industrial, Organization. New York : Wiley, 1956. 5.

Bamon R„ Fraysse J. Existence of Cournot Equilibrium in Large Markets // Econometrica. 1985.

Vol. 53. P. 587-597. 6.

Beckman M. Edgeworth—Bertrad Duopoly Revisited // Operations Research-Verfahren, III

/ Ed. by R. Henn. Meisenheim : Verlag Anton Hein, 1967. 7.

Benoit J.-R, Krishna V. Dynamic Duopoly : Prices and Quantities // Rev. Econ. Stud.

1987. Vol. 54. P. 23-36. 8.

Bertrand J. Theorie Mathematique de la Richesse Sociale // Journ. Savants. 1883.

P. 499-508. 9.

Bulow J., Geanakoplos J., Klemperer P. Multimarket Oligopoly : Strategic Substitutes and

Complements // Journ. Polit. Econ. 1985. Vol. 93. P. 488-511. 10.

Cournot A. Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth / Ed.

by N. Bacon. New York : Macmillan. 1987. 11.

Cowling КWaterson M. Price-Cost Margins and Market Structure // Econ. Journ.

1976. Vol. 43. P. 267-274. 12.

Curry B., George K. Industrial Concentration : ASyrvey // Journ. Industr. Econ. 1983.

Vol. 31. P. 203-255. 13.

Dansby R., Willig R. Industry Performance Gradient Indexes // Amer. Econ. Rev. 1979.

Vol. 69. P. 249-260. 14.

Dasgupta P., M a skin E. The Existence of Equilibrium in Discontinuous Economic Games.

I. Theory // Rev. Econ. Stud. 1986. Vol. 53. P. 1-26. 15.

Dasgupta P., Maskin E. The Existence of Equilibrium in Discontinuous Games. II. Ap

plications // Ibid. P. 27-41. 16.

Davidson C., Deneckere R. Horizontal Mergers and Collusive Behavior j j Intern. Journ.

Industr. Organization. 1984. Vol. 2. P. 117-132. 17.

Davidson C., Deneckere R. Long-Term Competition in Capacity, Short-Run Competition

in Price, and the Cournot Model // Rand Journ. Econ. 1986. Vol. 17. P. 404-415. 18.

Demsetz H. Industry Structure, Market Rivalry and Public Policy // Journ. Law a.

Econ. 1973. Vol. 16. P. 1-10. 19.

Deneckere R., Davidson C. Incentives to Form Coalitions with Bertrand Competition //

Rand Journ. Econ. 1985. Vol. 16. P. 473-486. 20.

Edgeworth F. The Pure Theory // Monopoly, in Papers Relating to Political Economy /

fed. by F. Edgeworth. London : Macmillan, 1925. Vol. 1. 21.

Encaoua D., Jacquemin A. Degree of Monopoly, Indices of Concentration and Threat of

Entry // Intern. Econ. Rev. 1980. Vol. 21. P. 87-105. 22.

Friedman J. Oligopoly and the Theory of Games. Amsterdam : North-Holland, 1977. 23.

Friedman J. Oligopoly Theory. Cambridge Univ. Press, 1983. 24.

Friedman J. On the Strategic Importance of Prices vs. Quantities. Univ. of North

Carolina, 1986. (Mimeo). 25.

Gabszewicz J.. Vial J. P. Oligopoly «a la Cournot* in General Equilibrium Analysis //

Journ. Econ. Theory. 1972. Vol. 4. P. 381-400. 26.

Gertner R. Simultaneous Move Price-Quantity Games and Non-Market Clearing Equilib

rium. Mass. Inst, of Technology, 1985. (Mimeo). 27.

Ghemawat P. Capacities and Prices : A Model with Applications. Harvard Business

School, 1986. (Mimeo). 28.

Hannah L., Kay J. Concentration in Modern Industry : Theory, Measurement and the

U. K. Experience. London : Macmillan, 1977. 29.

Hart O. Monopolistic Competition in a Large Economy with Differentiated Commodi

ties // Rev. Econ. Stud. 1979. Vol. 46. P. 1-30. 30.

Hart O. Perfect Competition and Optimal Product Differentiation // Journ. Econ. The

ory. 1980. Vol. 22. P. 279-312. 31.

Hart O. Imperfect Competition in General Equilibrium : An Overview of Recent Work //

Frontiers of Economics / Ed. by K. Arrow, S. Honkapohja. Oxford : Blackwell,

1985. 32.

Kay J. Concentration in Modern Industry. London : Macmillan, 1977. 33.

Kolm S.-C. Les Choix Financiers et Monetaires : Theorie et Techniques Modernes. Edi

tions Dunod, 1966. 34.

Kolm S.-C. The Optimal Production of Social Justice // Public Economics / Ed. by

J. Margolis, H. Guitton. London : Macmillan, 1969. 35.

Kreps D., Sheinkman J. Quantity Precommitment and Bertrand Competition Yield

Coumot Outcomes // Bell Journ. Econ. 1983. Vol. 14. P. 326-337. 36.

Levitan R., Shubik M. Price Duopoly and Capacity Constraints // Intern. Econ. Rev.

1972. Vol. 13. P. 111-122. 37.

Levitan R., Shubik M. Duopoly with Price and Quantity as Strategic Variables // Intern.

Journ. Game Theory. 1980. Vol. 7. P. 1-11. 38.

Mas-Colell A. The Cournotian Foundations of Walrasian Equilibrium Theory : An Expo

sition of Recent Theory // Advances in Economic Theory / Ed. by W. Hildenbrand. Cambridge Univ. Press, 1982. 39.

McManus M. Numbers and Size in Cournot Oligopoly // Yorkshire Bull. Soc. a. Econ.

Research. 1962. Vol. 14. 40.

McManus M. Equilibrium, Number and Size in Cournot Oligopoly // Ibid. 1964. Vol. 16.

P. 68-75. 41.

Nash J. Equilibrium Points in n-Person Games // Proc. National Acad. Sci. 1950.

Vol. 36. P. 48-49.

•2. Novshek W. On the Existence of Cournot Equilibrium // Rev. Econ. Stud. 1985. Vol. 52. P. 85-98. 43.

Novshek W., Sonnenschein H. Cournot and Walras Equilibrium // Journ. Econ. Theory.

1978. Vol. 19. P. 223-266. 44.

Osborne М., Pitchik C. Price Competition in a Capacity Constrained Duopoly // Ibid. 1985.

Vol. 38. P. 238-260. 45.

Roberts J., Postlewaite A. The Incentives for Price-Taking Behavior in Large Exchange

Economies // Econometrica. 1976. Vol. 44. P. 115-128. 46.

Roberts J., Sonnenschein H. On the Existence of Cournot Equilibrium without Concave

Profit Functions // Journ. Econ. Theory. 1976. Vol. 13. P. 112-117. 47.

Roberts J., Sonnenschein H. On the Foundations of the Theory of Monopolistic Compe- 1

tition // Econometrica. 1977. Vol. 45. P. 101-113. 48.

Roberts K. The Limit Points of Monopolistic Competition // Journ. Econ. Theory. 1980. Vol. 22. P. 256-279. 49.

Rothschild М., Stiglitz J. Increasing Risk : I. A Definition // Ibid. 1970. Vol. 2.

P. 225-243. 50.

Salant S., Switzer S., Reynolds R. Losses Due to Merger : The Effects of an Exogenous

Change in Industry Structure on Cournot—Nash Equilibrium // Quart. Journ. Econ. 1983. Vol. 48. P. 185-200. 51.

Scherer F. Industrial Market Structure and Economic Performance. 2nd ed. Chicago :

Hand—McNally, 1980. 52.

Schmalensee R. Inter-Industry Studies Structure of Performance // Handbook of In

dustrial Organization / Ed. by R. Schmalensee, R. Willig. Amsterdam : North- Holland, 1986. 53.

Schmalensee R. Collusion versus Differential Efficiency : Testing Alternative Hypothe

ses // Journ. Industr. Econ. 1987. Vol. 35. P. 399-425. 54.

Sherman R. Oligopoly: An Experimental Approach. Cambridge, Mass. : Ballinger, 1972. 55.

Shubik M. Strategy and Market Structure. New York : Wiley, 1959. 56.

Stahl Z>. Bertrand Competition for Inputs, Forward Contracts and Walrasian Outcomes.

Duke Univ., 1985. 57.

Szidarowsky F., Yakowitz S. A New Proof of the Existence and Uniqueness of the Cournot

Equilibrium // Intern. Econ. Rev. 1977. Vol. 18. P. 787-789. 58.

Szidarowsky F., Yakowitz S. Contribution to Cournot Oligopoly Theory // Journ. Econ.

Theory. 1982. Vol. 28. P. 51-70. 59.

Vives X. Nash Equilibrium in Oligopoly Games with Monotone Best Responses. CA

RESS W. P. 85-10. Univ. of Pennsylvania, 1985. 60.

Vives X. Rationing and Bertrand—Edgeworth Equilibria in Large Markets // Econ. Let

ters. 1986. Vol. 27. P. 113-116.

<< | >>
Источник: Тироль Ж.. Рынки и рыночная власть : Теория организации промышленности / Пер. с англ. СПб. : Экономическая школа.. 1995

Еще по теме 5.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ. КОЛИЧЕСТВЕННАЯ КОНКУРЕНЦИЯ:

  1. 4.6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ. ОГРАНИЧЕНИЯ, УМЕНЬШАЮЩИЕ КОНКУРЕНЦИЮ
  2. РАЗДЕЛ VII Количественная оценка труда
  3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ.
  4. РАЗДЕЛ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СОГЛАШЕНИЙ
  5. 11.6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ
  6. _ 3.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ. НЕЛИНЕЙНОЕ ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ
  7. 6.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ И ТАЙНЫЙ СГОВОР
  8. ТЕМЫ РАЗДЕЛА «КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ»
  9. Раздел 3 ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ БАНКОВ НА РЫНКАХ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ
  10. 2.6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ. ПОВТОРНЫЕ ПОКУПКИ
  11. 0. 3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ. ОТНОШЕНИЯ ПРИНЦИПАЛ—АГЕНт
  12. 9.9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ. ДАРВИНОВСКИЙ ОТБОР В ОТРАСЛИ
  13. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАЗДЕЛА «КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ХОЗЯЙСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ»
  14. 10.8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ. ЛИЦЕНЗИРОВАНИЕ ПАТЕНТОВ И СОВМЕСТНЫЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ СТРУКТУРЫ
- Бюджетная система - Внешнеэкономическая деятельность - Государственное регулирование экономики - Инновационная экономика - Институциональная экономика - Институциональная экономическая теория - Информационные системы в экономике - Информационные технологии в экономике - История мировой экономики - История экономических учений - Кризисная экономика - Логистика - Макроэкономика (учебник) - Математические методы и моделирование в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги и налолгообложение - Основы коммерческой деятельности - Отраслевая экономика - Оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Политэкономия - Региональная и национальная экономика - Российская экономика - Системы технологий - Страхование - Товароведение - Торговое дело - Философия экономики - Финансовое планирование и прогнозирование - Ценообразование - Экономика зарубежных стран - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика машиностроения - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика полезных ископаемых - Экономика предприятий - Экономика природных ресурсов - Экономика природопользования - Экономика сельского хозяйства - Экономика таможенного дел - Экономика транспорта - Экономика труда - Экономика туризма - Экономическая история - Экономическая публицистика - Экономическая социология - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ - Эффективность производства -