11.1. ИГРЫ И СТРАТЕГИИ
2 2 1 J
О • -1 0 1
Рис. 11.1. Ища 1.
Существуют два способа формализации игры. Один заключается в описании расширенной формы, которая характеризует порядок игры, информацию и выбор, доступные игроку во время его хода, выплаты игрокам (зависящие от выбора всех игроков) и (возможно) распределение вероятности ходов «природы».647 «Дерево» игры (система узлов) изображает эту расширенную форму.
Дерево, представленное на рис. 11.1, отображает следующую игру двух игроков. В момент t — 1 только игрок 1 принимает решение. Перед ним две возможности, обозначенные L («Левый») и R («Правый»). В момент t = 2 игрок 2, наблюдающий первоначальное решение игрока 1, принимает решение. Он выбирает из I («левый») и г («правый»). Так как каждый игрок играет только в течение одного периода, нет необходимости в попериодной индексации действий и стратегий. Для удобства полезности (или выплаты) обоих игроков показаны на дереве внизу (они могут представлять сумму выплат, полученных на стволе дерева). Например, если (ai,a2) = (L,l), где аг обозначает действия агента г, игрок 1 получает полезность, равную 2, а игрок 2 — нулевую полезность.
©
В этой игре игрок 2 следит за ходом игрока 1, прежде чем предпринять свой ход. Случай, когда он не будет этого делать (ходы делаются «одновременно»), изображен на рис. 11.2. На этом рисунке объединение узлов игрока 2 овалом показывает, что он обладает одинаковой информацией о ходах игрока 1 (совершенных, совершаемых или тех, что он совершит) в L или J?,648 это называется информационным множеством игрока 2. (В игре 1 каждый узел является отдельным информационным множеством). В последовательной игре (игра 1) игрок 2 мог бы иметь разные варианты действий в двух узлах; в Рис. 11.2. Игра 2.
одновременной игре (игра 2) ему доступны
те же ходы, в противном случае он был бы способен распознать эти узлы.
На языке данной главы можно определить игру 2 как статическую игру, а игру 1 как динамическую. На формальном уровне нет необходимости разде- лять эти два типа игр, однако такое различие облегчает введение концепции Нэша.Мы полагаем, что полная структура дерева «общеизвестна»: все игроки знают ее, знают, что их оппоненты знают ее, и т. д.649 Любые экзогенные неопределенности (так называемые ходы природы) должны быть включены в дерево.650
В нашем обсуждении игр 1, 2 мы говорили о движении игроков — I или г. Эти движения называются чистыми стратегиями. Чистая стратегия — это уверенный выбор игроком определенного действия. Напротив, игрок (скажем, игрок 1) мог бы выбирать наудачу между / и г, т. е. сыграть I с вероятностью х иге вероятностью 1 — х, где х принадлежит [0,1]. Такая стратегия называется смешанной стратегией.651 Чистая стратегия — это частный случай смешанной стратегии (при х — 0 или х — 1 в предыдущем примере).
Таблица 11.1
Нормальная форма
Игра 1 ^'\^Игрок 2 Игрок aj = ('.0 а\ = (г, г) а\ = (/, г) а\ = (г, /) 1! JI
HHNH
<3 « 2, 0 1,0 2, -1 3, 1 2, 0 3, 1 2, -1 1, о Игра 2
Представление расширенной формы игры в нормальной форме является суммарным представлением расширенной формы. Нормальная форма — это совокупность чистых стратегий, доступных каждому игроку при каждом из его информационных множеств в расширенной форме. В играх 1 и 2 игрок 1 имеет две чистые стратегии: а\ — L и а\ — R. В игре 1 игрок 2 имеет четыре чистые стратегии: а\ = {М}* а* = {г, г}, О2 = {/>г} и а\ = где, например, а\ = {/,г} означает, что
игрок 2 реагирует на aj, играя /, и на играя г. В игре 2 игрок 2 имеет только две чистые стратегии, которые соответствуют стратегиям а\ и а\ игры 1. Нормальная форма также распределяет чистые стратегии в выплаты каждому игроку. Например, в игре 1 выплата игроку 1 за чистые стратегии {а},о3} — это = 2» так как игрок 1 играет X, а игрок 2 отвечает также игрой L.
Нормальные формы часто изображаются в виде матриц, как в табл. 11.1.
Обобщая, можно определить игру в нормальной форме как множество возможных чистых стратегий или действий Л,- и платежных функций
П (<2j, . . . , <2j, . . . , <2n)
для каждого г-го игрока.
Как и при расширенной форме, можно увеличить пространство стратегий и допустить смешанные стратегии. Смешанная стратегия для г-го игрока — это распределение вероятности на множестве АІ (таким образом, стратегическое
Ї 1 Рис. 11.3. Игра 3.
©
пространство тогда — это А{, множество распределений вероятности на АІ). Выплаты за смешанные стратегии являются ожидаемыми величинами соответствующих выплат за чистую стратегию.
Упражнение 11.1*. Рассмотрите расширенную форму игры, изображенную на рис. 11.3.
1 2 1.
Каковы информационные множества игрока 2? Игрока 1? 2.
Запишите эту игру в нормальной форме.
Еще по теме 11.1. ИГРЫ И СТРАТЕГИИ:
- СТРАТЕГИЯ И ТАКТИКА. ВХОД В ИГРУ И ВЫХОД ИЗ ИГРЫ
- 4.1. Требования к руководителю игры и методика проведения игры.
- МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
- Деловые игры
- Приведение матричной игры к задаче линейного программирования
- Часть VI Игры п рофессиона л ов
- Лекция № 6 ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ ИГРЫ
- Математическое обеспечение игры
- Деловые игры
- 1. БИЗНЕС: ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ИГРЫ
- Глава 2 УЧАСТНИКИ БИРЖЕВОЙ ИГРЫ
- Деловые игры