загрузка...

Тема 1. Теория временной стоимости денег. Начисление процентов

  При осуществлении финансовых сделок большую роль играют два фактора: размер денежной суммы; фактор времени.
Время учитывается в силу того, что деньги неравноценны в разные периоды времени, так как теоретически любая сумма денежных средств может быть инвестирована, и принести доход. Поэтому при принятии финансовых решений, прежде чем осуществлять арифметические действия с денежными суммами, их приводят к одной соразмеренности по времени.
В финансово-кредитных расчетах это достигается с помощью начисления процента: под процентами понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг. размер процентной ставки - это отношение суммы процентов за определенный период времени к величине ссуды. время, за которое начисляются проценты, называется периодом начисления.
Проценты могут начисляться дискретно (ежемесячно, ежеквартально и т.д.) и непрерывно, и выплачиваться кредитору по мере их начисления либо единовременно при погашении долга.
Процесс сложения процентов и первоначальной суммы долга называется наращением первоначальной суммы. Здесь выделяют различные виды процентной ставки и методы их начисления.
Если ставки процентов начисляются к первоначальной сумме долга, то в этом случае процентная ставка является простой. Если проценты применяются к сумме с наращением, то это сложные процентные ставки.
Различают антисипативные и декурсивные проценты: при применении процентной ставки к первоначальной сумме долга проценты являются антисипативными. если же за базу применяется сумма погашения, то процентный метод начисления называется декурсивным, а процентная ставка носит название учетной (?SOOlNTFaiE).
Наращение с учетом простых процентных ставок
Практически все финансово-экономические расчеты связаны с определением процентных денег.
Процентными деньгами (процентами) называют сумму доходов от предоставления денег в любой форме (выдача ссуд, открытие депозитных счетов, покупка облигаций, сдача оборудования в аренду и др.). Сумма процентных денег зависит от суммы долга, срока его выплаты и процентной ставки, характеризующей интенсивность начисления процентов.
Сумму долга с начисленными процентами называют наращенной суммой. Отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга называют множителем (коэффициентом наращения).
При использовании простых процентных ставок проценты рассчитываются как:
I = PV * N * R
Г де PV - текущая стоимость
N - срок долга в годах
F - годовая процентная ставка
Наращенная сумма на каждом периоде начисления определяется по формуле:
FV = PV (1 + N * F),              (1)
где FV - будущая стоимость
Если срок долга задается в днях, в приведенную формулу надо поставить выражение:
N = D/ K,
где D - продолжительность периода начисления в днях
K - расчетное количество дней в году.
Тогда формула наращенной суммы примет вид:
L d              Л I 1 H              * г I
FV = PV V K              J
Если процентная ставка в течение срока долга будет изменяться, наращенная сумма будет равна:
FV = PV(1+ NR +NB +              1Ш = PV (1 + ^n' *г)
При проведении процентных расчетов может быть учтена инфляция. Если задан уровень инфляции за некоторый период (например, месяц), то индекс инфляции за срок, включающий несколько таких периодов (квартал, полугодие, год), определяется по формуле:
IN = (1 + R/ ,
где Rn - уровень инфляции за период
N - количество таких периодов.
При использовании простых процентных ставок в одном периоде их начисления с учетом инфляции применяется формула:
PV(1 + n * г)
FVr =              Tn              (2)
Инфляция будет влиять на реальную доходность вкладных и кредитных операций.
Расчет с применением сложных процентных ставок
При использовании сложных процентных ставок процентные деньги, начисленные после первого периода начисления, являющегося частью общего срока долга, присоединяются к сумме долга. Во втором периоде начисления проценты будут начисляться исходя из первоначальной суммы долга, увеличенной на сумму процентов, начисленных после первого периода начисления, и так далее на каждом последующем периоде начисления. Если сложные проценты начисляются по постоянной ставке и все периоды начисления имеют одинаковую длительность, наращенная сумма будет равна:
FV = PV(1+R)n              (3)
Сложные проценты могут начисляться несколько раз в году. При этом годовую процентную ставку, исходя из которой определяется величина ставки процента в каждом периоде начисления, называют номинальной годовой процентной ставкой.
FV = PV(1+R/M)nm              (4)
где, M - капитализация.
Этими формулами можно воспользоваться лишь в том случае, если ставка процентов не меняется во времени. При меняющихся процентах формула сложной ставки трансформируется и выглядит следующим образом:
FV = PV(1 + R)M *(1+B)№ *              *(1+РйГ
В практических расчетах формулы (1), (3) используют по необходимости и для дробного числа периодов. Графическая иллюстрация соотношения сумм, наращиваемых по любому, в том числе дробному, сроку 0, приведена на



При "1 = Уг и Т2 = 2 имеют место неравенства:
(1 + F)1/2 lt; (1+ УР) и (1 + 1) gt; (1+2F).
Подчеркнем, что при срочности Тlt; 1(как видно из рис.1) начисление по простым процентам превышает сложный процент; при переходе через единичный промежуток картина меняется: превалирует сложный процент, причем с возрастающей во времени отдачей.
Пример 1. Вы положили в банк на срочный вклад $100 сроком на 7 лет по 12 % годовых. Определить величину вклада по истечении срока вклада. Решение. Запишем условия задачи:
PV=$100; R= 12 %:100 %=0,12; N= 7.
Используя формулу (1), получим ответ:
FV= $100 х (1 + 0,12 х 7) = $184.
Обычно в реальных финансовых расчетах ставка процента определяется как годовая, однако продолжительность вклада или кредита может исчисляться в кварталах, месяцах, днях и даже в часах.
Если время задается в месяцах, тогда N определится как число месяцев - 12;
Если время задается в днях, тогда величина N определится двумя способами:
число дней - 365, или число дней - 360.
В первом случае вычисляется точный простой процент (EXaCTSIMPLE INlE- Fest), который базируется на календарном годе длительностью 365 дней, во втором случае определяется обычный простой процент (0FDI\aR SIMPLE INlEFEbI) на основе банковского 360-дневного года.
Предположим, вы одолжили партнеру $100 под 11 % годовых сроком на 244 дня. Какую сумму вам будет должен партнер по истечении указанного срока?
Условия данного примера аналогичны рассмотренному выше, за исключением показателя N, который в нашем случае определится как:

FV= $100 х (1 + 0,12 х 365 ) = $108,022 - в случае, если вы назначили партнеру точный простой процент или:
244
FV= $100 х (1 + 0,12 х 360) = $108,133 - если вы назначили партнеру обычный простой процент.
Пример 2. Какая сумма будет на банковском счете через 5 лет, если сегодня положить на счет $1000 под 11 % годовых?
Решение. Запишем условия задачи:
PV=$1000; R= 11 %: 100 %=0,11; N= 5.
Используя формулу (3), получим ответ:
FV = $1000 х (1 + 0,11)5 = $1 685,0582.
Пример 3. Необходимо рассчитать будущую стоимость вклада в $2000, помещенного под 10 % годовых на 3 года при условии ежемесячного начисления процентов.
Решение. Запишем условия задачи в виде:



Для закрепления изложенного материала выполните следующие задания:
Задание 1
Рассчитайте наращенную сумму с исходной суммы в 2 млн. руб. при размещении ее в банке на условиях начисления: а) простых и б) сложных процентов, если годовая ставка 15 %, а периоды наращения 90 дней, 180дней, 1 год, 5 лет, 10 лет.
Задание 2
Инвестор имеет возможность выбора вложить свои средства в размере 45 тыс. руб. в банк сроком на один год с выплатой: а) 25 % ежеквартально; б) 30 % 1 раз в четыре месяца; в) 45 % 2 раза в год; г) 100 % с выплатой 1 раз в год. Определить, какой является наиболее выгодным вариант вложения денежных средств.
Задание 3
Рассчитайте будущую стоимость 10 000 руб.
для следующих ситуаций:
а)              5 лет, 8 % годовых, ежегодное начисление процентов;
б)              5 лет, 8 % годовых, полугодовое начисление процентов;
в)              5 лет, 8 % годовых, ежеквартальное начисление процентов.
Сделайте вывод. Постройте график.
Задание 4
Малое предприятие А заключило с коммерческим банком С кредитный договор на получение краткосрочной ссуды в размере 870 тыс. руб. под 22 %

годовых сроком на 9 месяцев. Рассчитать сумму начисленных процентов, если сроки начисления:
а) ежеквартальные; б) полугодовые.
Задание 5
Предприятие получило кредит на один год в размере 10 млн. руб. с условием возврата 16 млн. руб. Рассчитайте процентную ставку.
Задание 6
При открытии сберегательного счета по ставке 15 % годовых 20.05.06 г. на счет была положена сумма 7500 руб. Затем 15.07.06 г. была добавлена сумма 450 руб., 20.09.06 г. со счета была снята сумма 2500 руб., а 30.11.06 г. счет был закрыт. Определить сумму начисленных процентов.
Задание 7
Клиент банка располагает капиталом в 5 тыс. руб. и вкладывает его на депозит на срок 2 года. При вложении капитала по первому варианту доход составляет 60 % годовых, по второму варианту - вложение производится по кварталам. Доход начисляется из расчёта 48 % годовых. Выберите наиболее доходный вариант вложения капитала.
Задание 8
При двух последовательных одинаковых процентных повышениях заработной платы сумма в 10000 руб. обратилась в 12544 руб. Определить, на сколько процентов повышалась заработная плата каждый раз.
Задание 9
Рассчитайте сумму первоначального вклада. Банк предлагает 60 % годовых. Инвестор, делая вклад, желает иметь на счете в банке через два года 10,8 млн. руб.
Задание 10
Банк принимает депозиты на полгода по ставке 6 % годовых. Определить реальные результаты вкладной операции для размера 500 руб. при годовом уровне инфляции 13 %.
Задание 11
Рассчитайте минимальное значение процентной ставки. Инвестор имеет 1 млн. руб. и хочет, вложив их в банк на депозит, получить через два года 4 млн. руб.
Задание 12
Предприятие обратилось в банк за ссудой в 200 тыс. руб. на приобретение оборудования и транспортных средств. Банк согласен предоставить ссуду сроком на 2 года под 40 % годовых. Рассчитать, какую сумму предприятие
Отредактировал и опубликовал на сайте ¦ PRESSI ( HERSON ) должно вернуть банку, если платеж будет осуществлен единовременно по сложным процентам.
Задание 13
Вклад 200 руб. был положен в банк 25.05.03 г. по ставке 12 % годовых. С 1.07.03 г. банк снизил ставку по вкладам до 6,5 % годовых, 15.07.03 г. вклад был востребован. Определить сумму начисленных процентов.
Задание 14
Банк выдал ссуду в сумме 200 тыс. руб. на 2 года из расчета 10 % годовых с условием ежеквартальной капитализации процентов. Определить наращенную сумму долга.
Задание 15
Трастовый фонд предлагает следующие условия вложения денежных средств: при вложении на 3 года 10 тыс. руб. Первый год выплачивается 10 % годовых, второй год ставка увеличивается на 0,5 %, третий год еще на 1,5 %.
Задание 16
Найти сумму, которую необходимо положить на счет в банк, чтобы через 3 года иметь на счете 2000 руб., если процентная ставка составляет 15 % годовых.
Задание 17
Предположим, Вы заключили депозитный контракт на сумму $4000 на 3года при 12-процентной ставке. Если проценты начисляются ежегодно, какую сумму Вы получите по окончании контракта?
Задание 18
Финансовый менеджер предприятия предложил Вам инвестировать Ваши $10000 в его предприятие, пообещав возвратить $13000 через два года. Имея другие инвестиционные возможности, Вы должны выяснить, какова процентная ставка прибыльности предложенного Вам варианта.
Задание 19
Предприятие собирается приобрести через пять лет новый станок стоимостью $12000. Какую сумму денег необходимо вложить сейчас, чтобы через пять лет иметь возможность совершить покупку, если процентная ставка прибыльности вложения составляет: а) 12 %; б) 13 %.
Задание 20
Предприятие располагает $600000 и предполагает вложить их в собственное производство, получая в течение трех последующих лет ежегодно $220000. В то же время предприятие может купить на эту сумму акции соседней фирмы, приносящие 14              % годовых. Какой вариант Вам
представляется более приемлемым, если считать что более выгодной

возможностью вложения денег (чем под 14 % годовых) предприятие не располагает?
Задание 21
Вы имеете 10 млн. руб. и хотели бы удвоить эту сумму через 5 лет. Каково минимально приемлемое значение процентной ставки?
Задание 22
Банк предлагает 15 % годовых. Чему должен быть равен изначальный вклад, чтобы через 3 года иметь на счете 5 млн. руб.
Задание 23
Какая сумма предпочтительнее при ставке 9 % - $1000 сегодня или $2000 через 8 лет?
Задание 24
Предприятие собирается приобрести через три года новый станок стоимостью $8000.
Какую сумму денег необходимо вложить сейчас, чтобы через три года иметь возможность совершить покупку, если процентная ставка прибыльности вложения составляет: а) 10 %; б) 14 %.
Задание 25
Оба проекта имеют одинаковый объем инвестиций. Предприятие планирует инвестировать полученные денежные доходы под 18 % годовых. Сравните современные значения полученных денежных доходов.
Г од              Проект 1 Проект 2

1

$12,000

$10,000

2

$12,000

$14,000

3

$14,000

$16,000

4

$16,000

$14,000

5

$14,000

$14,000

Всего              $              $


Задание 26
Некто В. разделил свой капитал 18 680 руб. на две части. Одну часть он отдал под 8 % годовых (простых) и через 1 год 4 месяца получил 1 088 руб. прибыли. Другую часть капитала он поместил в банк, выплачивающий 5 % годовых (простых). Через какой срок В. получит со второй части 159 руб. прибыли?
Задание 27
Некто 25 мая 2003 года взял в долг 7 200 руб. под 5,5 %, обязавшись уплатить эти деньги вместе с причитающимися к ним процентами 25 марта 2004 года. Сколько он должен заплатить своему кредитору в назначенный срок?
Тестовые задания Если собственник капитала располагает суммой денежных средств PV, то вложив их в некоторый источник накопления капитала, гарантирующий ему определенный доход R процентов в год, собственник через период T получает доход, величина которого рассчитывается по формуле:
а) Простой процент В) Сложный процент ... - это способ при котором все выплаты по процентам реинвестируются и приносят такой же процент дохода.
а) сложный процент В) простой процент Указанная формула соответствует одному из способов начисления процентов на начальную инвестируемую сумму денежных средств FV = PV(1 + R * T)
а) простой процент В) сложный процент Указанная формула соответствует одному из способов начисления процентов на инвестируемую сумму денежных средств FV = PV (1 + R)T)
а) сложный процент В) простой процент ... - это способ начисления процентов, при котором начисление процентов производится на сумму, включающую проценты, начисленные за предыдущие периоды.
а)              сложный процент
В)              простой процент
Вопросы для проверки Сформулируйте основной принцип стоимости денег во времени. В чем экономический смысл концепции стоимости денег во времени? С какой целью учитывается временной фактор при принятии финансовых решений? Чем отличается простая процентная ставка от сложной процентной ставки? Что понимается под наращением денег? Запишите основную формулу теории сложных процентов.
Сформулируйте пример практического использования современного значения денег. Как, имея реальную доходность инвестиций и годовой темп инфляции подсчитать номинальную доходность инвестиций? Как изменится наращенная сумма, если проценты начисляются несколько раз в год? Как изменится наращенная сумма, если процентная ставка меняется в течение года? 
<< | >>
Источник: Марковина Е.В. И.А. Мухина. Инвестиции              [электронный ресурс] : учеб.-практ. пособие. 2011

Еще по теме Тема 1. Теория временной стоимости денег. Начисление процентов:

  1. 39.1. ТЕОРИЯ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ ОЦЕНКЕ РЫНОЧНОЙ СТОИМОСТИ РАЗЛИЧНЫХ ОБЪЕКТОВ СОБСТВЕННОСТИ
  2. 18.2 ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ
  3. Стоимость денег во времени
  4. Временная стоимость денег
  5. Изменение стоимости денег во времени
  6. 3. Временная стоимость денег
  7. 3.1. Концепция стоимости денег во времени
  8. ДЕНЕЖНЫЕ ПОТОКИ И ВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ДЕНЕГ
  9. Применение показателей, использующих временную стоимость денег
  10. § 3.5. НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ