<<
>>

Применение моделей кривых роста для анализа и прогнозирования

На практике для описания тенденции развития явления широко используются модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени у = ((/). При таком подходе изменение исследуемого показателя связывают лишь с течением времени, считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени.

Правильно выбранная модель кривой роста должна соответствовать характеру изменения тенденции исследуемого явления. Кривая роста позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Прогнозирование на основе модели кривой роста базируется на экстраполяции, т.е. на продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При этом предполагается, что во временном ряду присутствует тренд, характер развития показателя обладает свойством инерционности. Сложившаяся же тенденция не должна претерпевать существенных изменений в течение периода упреждения.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы: 1) выбор одной или несколь-

ких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда; 2) оценка параметров выбранных кривых; 3) проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста; 4) расчет точечного и интервального прогнозов.

К настоящему времени в литературе описано несколько десятков кривых роста. Эти модели условно могут быть разделены на три класса в зависимости от того, какой тип динамики развития „ они лучше описывают.

КI классу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например, для большинства показателей промышленного производства в натуральном выражении.

Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населения), при исследовании эффективности использования ресурсов ит.д. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади и т. п. Функции, относящиеся ко II классу, называются кривыми насыщения.

Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к III классу кривых роста - к 5-образным кривым. Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, другой - с замедлением. 5-образные кривые находят применение в демографических исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.

Вопрос о выборе кривой является основным при выравнивании ряда.

Существует несколько подходов к решению этой задачи, и все они предполагают знакомство с основными свойствами используемых кривых роста. Поэтому остановимся на характеристике отдельных типов кривых, наиболее часто применяемых на практике.

Среди кривых роста I класса, прежде всего следует выделить класс полиномов:

где .              - параметры многочлена; t - независимая пере

менная (время).

Коэффициенты полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в зависимости от содержания динамичес-

кого ряда. Например, их можно трактовать как скорость роста (й^), ускорение роста (а2), изменение ускорения (а3).

Обычно в экономических исследованиях применяются полиномы не выше третьего порядка.

Использовать для определения тренда полиномы высоких степеней нецелесообразно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие функции будут отражать случайные отклонения (что противоречит смыслу тенденции). Полином первой степени y, = a0 + axt на графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно.

Полином второй степени (парабола) у, = а0 + axt + a2t2 применим в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно (т. е. имеется равноускоренный рост или равноускоренное снижение уровней). Как известно, если параметр а2 gt; 0, то ветви параболы направлены вверх, если же а2 lt; 0, то вниз. Параметры а0и а, не влияют на форму параболы, а лишь определяют ее положение.

Полином третьей степени имеет виду,=а0+а^+a2t2+аъ(г. У этого полинома знак прироста ординат может изменяться один или два раза (см. рис. 10.5).

Оценки параметров в модели (10.32) находятся методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в определении таких коэффициентов (параметров), при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной. Таким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения:

(10.33)

где у, - фактическое значение уровня временного ряда; у, - расчетное значение; п - длина временного ряда.

В результате минимизации выражения (10.33) получается система нормальных уравнений:

Возможность упрощения вычислений за счет переноса начала отсчета t рассмотрим ниже. Система (10.34) состоит из (р + 1) уравнений, содержащих в качестве неизвестных величин (р + 1) коэффициентов а0,аи...,ар. Решение этой системы позволяет вычислить оценки искомых коэффициентов.

Системы для оценивания полиномов невысоких степеней выглядят намного проще.

Например, нормальные уравнения для оценивания параметров прямой имеют следующий вид:

Решение этой системы относительно искомых параметров дает следующие выражения:

(10.36)

Для параболы (полинома 2-го порядка) получим аналогичную систему нормальных уравнений:

(10.37)

Эта система содержит три уравнения, позволяющих найти оценки трех неизвестных коэффициентов а0, аи а2.

Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величиныи т.д. не зависят от конк

ретных уровней динамического ряда. Эти суммы являются функ-

циями только числа членов в динамическом ряду. Для них получены следующие формулы:

Другой подход к упрощению расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. Это позволяет упростить сами нормальные уравнения, а также уменьшить абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3,..., то после переноса:

а)              для четного числа членов ряда t =..., -5; -3; -1; 1; 3; 5;...;

б)              для нечетного числа членов ряда t -..., -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;.... В формулах (10.38-10.41) суммирование производится по /, полученному после переноса начала координат. При этом учитывается, что в этом случае (где к- нечетное число) равна 0. Такой

подход существенно упрощает систему (10.34). В частности, система нормальных уравнений для прямой (10.35) за счет того, что

?г = 0, примет вид:

(10.38)

Для параболы система (10.37) также существенно упрощается, так как после переноса начала координат в середину ряда динамикии              Получаются следующие формулы:

(10.39)

В этом случае оценки параметров соответствующих полиномов имеют вид: для прямой:

(10.40)

для параболы:

Для класса экспоненциальных кривых, в отличие от полиномов, характерной является зависимость приростов от величины самой функции.

Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие «лавинообразный» характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции.

Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид:

(10.42)

Если b gt; 1, то кривая растет вместе с ростом t. Но она падает, если b lt; 1.

Параметр а характеризует начальные условия развития, а параметр Ь - постоянный темп роста.

Действительно, темп роста равен

В данном случае

Соответственно и темпы прироста - постоянны:

Можно показать, что логарифм ординаты этой функции линейно зависит от t, для этого прологарифмируем выражение (10.42):

Теперь для оценки неизвестных параметров можно использовать систему нормальных уравнений для прямой (10.35).

Иначе говоря, нормальные уравнения строятся исходя из минимизации:

Найдем неизвестные параметры А и В. Зная значения А = log а и В = log Ъ, определим значения а и b и с помощью потенциирования получим показательную функцию, служащую для выравнивания ряда. Такой подход к оцениванию неизвестных параметров привлекает своей универсальностью.

Все рассмотренные типы кривых используются для описания монотонно возрастающих или убывающих процессов без «насыщения». Если же процесс характеризуется «насыщением», его следует описывать при помощи кривой, имеющей отличную от нуля асимптоту. Примером такой кривой может служить модифицированная экспонента:


где у = к является горизонтальной асимптотой.

Если параметр а отрицателен, - то асимптота находится выше кривой, если а положителен, - то ниже. При решении экономических задач чаще всего приходится иметь дело с кривой, у которой а lt; О, Ъ lt; 1. В этом случае рост уровней происходит с замедлением и стремится к некоторому пределу.

При решении экономических задач нередко приходится определять значение асимптоты, исходя из свойств прогнозируемого процесса (например, коэффициент использования оборудования не может превышать 1). Иногда значение асимптоты задается экспертным путем. Например, главный инженер предприятия указывает, что производственные мощности не позволят наращивать объемы производства выше определенного уровня. Этот уровень является оценкой значения асимптоты к при прогнозировании производства продукции.

В этих случаях другие параметры кривой могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения уравнения к линейному виду:

(10.45)

где к' - заданное значение асимптоты.

Прологарифмируем (10.45):Теперь

можно оценить параметры logo и log6, используя систему нормальных уравнений (10.43). Таким образом, модифицированная экспонента хорошо описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор, причем влияние этого воздействия растет вместе с ростом достигнутого уровня.

Если воздействие ограничивающего фактора начинает сказываться только после определенного момента (точки перегиба), до которого процесс развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для выравнивания используют 5-образные кривые.

Наиболее известными являются кривая Гомперца (10.46) и логистическая кривая (кривая Перла-Рида). Кривая Гомперца описывается следующей формулой:

(10.46)

Кривая несимметрична. Если log а lt; 0, кривая имеет .S-образный вид, при этом асимптота, равная к, проходит выше кривой. Если log а gt; 0, асимптота, равная к, лежит ниже кривой, а сама кривая изменяется монотонно. При b lt; 1 она монотонно убывает, а при b gt; 1 - монотонно возрастает.

Для решения экономических задач наибольший интерес представляет вариант кривой, когда log а lt; 0 и b lt; 1 (рис. 10.5).

Рис. 10.5. Кривые роста

Используется и другая форма записи уравнения логистической кривой:

При t -» -оо ордината стремится к нулю, а при / -у со - к асимптоте, равной значению параметра к. Кривая симметоична относительно точки перегиба с координатамиalt="" />

Как видно из графика (см. рис. 10.5), логистическая функция возрастает сначала ускоренным темпом, затем темп роста замедляется и наконец рост почти полностью прекращается, о чем свидетельствует тот факт, что кривая асимптотически приближается к некоторой прямой, параллельной оси абсцисс.

С помощью этой функции хорошо описывается развитие новой отрасли (нового производства). Сначала технические методы производства еще недостаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на рынке на данный товар еще очень мал, поэтому производство развивается медленно. В дальнейшем, благодаря усовершенствованию технических методов изготовления, переходу к массовому производству и увеличению емкости рынка для данного товара производство растет быстрее. Затем наступает период насыщения рынка, рост производства все более замедляется, и наконец почти прекращается. Наступает стабилизация производства на определенном уровне. Однако выявленные закономерности развития следует обобщать с определенной осторожностью, причем для коротких периодов. Выявленная тенденция развития производства может быть нарушена, например, вследствие технического переворота в данной отрасли или в связи с ним.

Таким образом, мы рассмотрели наиболее часто используемые виды кривых роста. Выявленные особенности и свойства этих кривых могут существенно помочь при решении задачи выбора типа кривой. Теперь остановимся подробнее на некоторых практических подходах, облегчающих процесс выбора кривой роста.

Наиболее простой путь - это визуальный, опирающийся на графическое изображение временного ряда. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому развитию процесса. Если на графике исходного ряда тенденция развития недостаточно четко просматривается, то можно провести некоторые стандартные преобразования ряда (например, сглаживание), а по-

том подобрать функцию, отвечающую графику преобразованного ряда. В современных пакетах статистической обработки имеется богатый арсенал стандартных преобразований данных и широкие возможности для графического изображения, в том числе в различных масштабах. Все это позволяет существенно упростить для исследователя проведение данного этапа.

В статистической литературе описан метод последовательных разностей, помогающий при выборе кривых параболического типа. Этот метод применим при выполнении следующего условия: уровни временного ряда могут быть представлены в виде суммы систематической составляющей и случайной компоненты, подчиненной нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 0, и постоянной дисперсией. Метод предполагает вычисление первых, вторых и т.д. разностей уровней ряда:

Расчет ведется до тех пор, пока разности не станут примерно равными. Порядок разностей принимается за степень выравнивающего полинома.

Однако чаще всего на практике к выбору формы кривой подходят, исходя из значений критерия, в качестве которого принимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровней от расчетных, получаемых выравниванием.

Из рассматриваемых кривых предпочтение будет отдано той, которой соответствует минимальное значение критерия, ибо чем меньше значение критерия, тем ближе к кривой ложатся данные наблюдений.

Используя этот подход, следует иметь в виду ряд моментов. Во- первых, к ряду, состоящему из т точек, можно подобрать многочлен (полином) степени (т-1), проходящий через все т точек. Кроме того, существует множество многочленов более высоких степеней, также проходящих через все эти точки. Для этих многочленов значение критерия будет равно 0, однако очевидно, что такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и для целей прогнозирования.

Применение данного подхода должно проходить в два этапа. На первом происходит ограничение приемлемых функций, исходя из содержательного анализа задачи. На втором осуществляется расчет значений критерия и выбор на его основе наиболее подходящей кривой роста. Необходимость содержательного анализа изучаемого процесса развития может быть проиллюстрирована следующими примерами.

Предположим, что на ретроспективном участке ряд динамики может быть хорошо описан с помощью экспоненциальной кривой. Однако первая половина логистической кривой также пред-

ставлена экспонентой. Поэтому принять гипотезу об экспоненциальной тенденции ряда в будущем можно только после проведения содержательного анализа. В его ходе следует дать ответ на вопрос: возможно ли наступление «насыщения» при данной совокупности условий. Например, процесс производства может быть ограничен материальными ресурсами или производственными мощностями.

Не исключена ситуация, когда наилучшей функцией по данному критерию будет признана прямая, однако, полученное на ее основе прогнозное значение будет отрицательным. Если из экономической сути показателя вытекает невозможность отрицательных значений (например, при прогнозировании объема выпускаемой продукции), то, естественно, следует отказаться от этой функции, выбрав менее «удачную» по данному критерию, но соответствующую содержательному смыслу показателя. Например, более подходящей в этом случае может оказаться экспоненциальная кривая при значении параметра b lt; 1 (см. рис. 10.5).

Иногда в качестве критерия выбирается средняя квадратическая ошибка:

(10.48)

где у, - фактическое значение уровня ряда; у, - расчетное значение уровня ряда, полученное по модели; к - число оцениваемых коэффициентов модели; п - длина ряда.

В заключение отметим, что не существует «жестких» рекомендаций для выбора кривых роста. Особенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании полученной функции для экстраполяции найденных закономерностей в будущее. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о сохранении выявленной тенденции в прогнозируемом периоде. Рассмотренные в данном разделе различные статистические приемы и методы могут помочь исследователю при осуществлении сложного выбора подходящей кривой роста.

Пример 10.5. В табл. 10.14 представлены данные об остатках вкладов населения в банках за 15 месяцев. Остатки вкладов указаны на начало каждого месяца.

Необходимо рассчитать прогноз остатков вкладов населения в банках на начало 16-го месяца, исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана: а) линейной моделью у, = а0 + att;

б)              параболической моделью у, = а0 + att + a2t2.

Решение, а) Для расчета коэффициентов линейного тренда воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных

Таблица 10.14

Остатки вкладов населения в банках (млрд руб.)

Порядковый номер месяца

У,

Порядковый номер месяца

у,

Порядковый номер месяца

У,

1

14717

6

23342

и

40524

2

16642

7

28317

12

45416

3

/>18504

8

30624

13

50857

4

20376

9

33408

14

56024

5

21321

10

36505

15

59381

уравнений после переноса начала координат в середину ряда (10.40). Коль скоро число уровней ряда динамики - нечетное (N= 15), то центральный уровень (восьмой) принимается за начало отсчета, ему соответствует t = 0. Вышестоящие уровни нумеруются с шагом-1, нижестоящие - с шагом +1 (гр. 3 табл. 10.15).

В таблице 10.15 представлены необходимые вспомогательные вычисления.

Таблица 10.15

Расчет параметров трендовых моделей

У,

t

У,-‘

t2

у,-*2

г4

1

2

3

4

5

6

7

1

14717

-7

-103019

49

721133

2401

2

16642

-6

-99852

36

599112

1296

3

18504

-5

-92520

25

462600

625

4

20376

-4

-81504

16

326016

256

5

21321

-3

-63963

9

191889

81

6

23342

-2

-46684

4

93368

16

7

28317

-1

-28317

1

28317

1

8

30 624

0

0

0

0

0

9

33408

1

33408

1

33408

1

10

36505

2

73010

4

146020

16

11

40524

3

121572

9

364716

81

12

45416

4

181664

16

726656

256

13

50857

5

254285

25

1271425

625

14

56024

6

336144

36

2016864

1296

15

59381

7

415667

49

2909669

2401

Е

495958

-

899891

280

9891193

9352

В соответствии с (10.40):


Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t = О равна 33063,9 млрд руб., а среднемесячный прирост остатков вкладов населения составляет 3213,9 млрд руб.

Для прогнозирования на базе полученной модели на одну точку вперед необходимо в нее подставить соответствующее значение временного параметра, т.е. t = 8[7].

Прогноз равен:alt="" />(млрд руб.).

б) Для расчета коэффициентов параболического тренда также воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда (10.41) (промежуточные вычисления представлены в табл. 10.15).


Следовательно, уравнение параболического тренда примет вид:

Для определения прогноза показателя надо подставить в полученную модель соответствующее значение временного параметра (/ = 8).

Прогноз равен:

На рис. 10.6 изображен график исходного временного ряда и выровненные значения уровней, полученные на основе двух трендовых моделей: линейной и параболической.


Графический анализ свидетельствует, что линейную модель нельзя признать адекватной. Полученный на ее основе прогноз будет сильно занижен. Значительно ближе к фактическим данным ложатся уровни, выровненные по параболической модели, хотя прогноз может быть несколько завышен. Дальнейшее исследование качества полученных моделей должно опираться на показатели, рассматриваемые в следующем параграфе. 

<< | >>
Источник: В. С. Мхитарян, Т. А. Дуброва, В. Г. Минашкин. Статистика: Учебник для студ. учреждений сред. проф. С  образования. 2004

Еще по теме Применение моделей кривых роста для анализа и прогнозирования:

  1. 8.2.3. Применение модели Монти–Кляйна для анализа политики регулирования ставки депозитов
  2. 8.1.Равновесный подход к анализу экономического роста и его значение для теоретического анализа
  3. 7.3.1. Модель ARCH и ее применение для описания финансовых временных рядов
  4. 3.1 Разработка системы моделей для долгосрочного прогнозирования экономической динамики на основе спросового подхода
  5. Углубленный анализ финансового состояния. Модели роста
  6. ГЛАВА 15. ПОНЯТИЕ И ПОКАЗАТЕЛИ РЫНОЧНОЙ КОНЪЮНКТУРЫ, ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ АНАЛИЗА И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЦЕН
  7. ПОСТРОЕНИЕ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ УСЛОВИЙ, СКЛАДЫВАЮЩИХСЯ В РАЗНЫХ ФАЗАХ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЦИКЛА, ДЛЯ ВЫБОРА СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ КОНКУРЕНТНЫМИ ПРЕИМУЩЕСТВАМИ ПРЕДПРИЯТИЙ
  8. Система экономико-математических моделей для выбора и анализа вариантов использования инвестиций для внедрения новой техники
  9. Глава 11. СПРОС И КОНКУРЕНТНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПОТРЕБИТЕЛЯ: АНАЛИЗ КРИВЫХ БЕЗРАЗЛИЧИЯ
  10. Область применения теории расписаний для анализа загрузки оборудования
  11. Применение метода коэффициентов для факторного анализа затрат по экономическим элементам
  12. 4.1.Неоклассическая и кейнсианская модели рынка труда как теоретическая основа построения долгосрочной и краткосрочной кривых совокупного предложения
  13. Модель анализа и прогнозирования налоговой базы и налоговых поступлений.
- Бюджетная система - Внешнеэкономическая деятельность - Государственное регулирование экономики - Инновационная экономика - Институциональная экономика - Институциональная экономическая теория - Информационные системы в экономике - Информационные технологии в экономике - История мировой экономики - История экономических учений - Кризисная экономика - Логистика - Макроэкономика (учебник) - Математические методы и моделирование в экономике - Международные экономические отношения - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги и налолгообложение - Основы коммерческой деятельности - Отраслевая экономика - Оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Политэкономия - Региональная и национальная экономика - Российская экономика - Системы технологий - Страхование - Товароведение - Торговое дело - Философия экономики - Финансовое планирование и прогнозирование - Ценообразование - Экономика зарубежных стран - Экономика и управление народным хозяйством - Экономика машиностроения - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика полезных ископаемых - Экономика предприятий - Экономика природных ресурсов - Экономика природопользования - Экономика сельского хозяйства - Экономика таможенного дел - Экономика транспорта - Экономика труда - Экономика туризма - Экономическая история - Экономическая публицистика - Экономическая социология - Экономическая статистика - Экономическая теория - Экономический анализ - Эффективность производства -