<<
>>

НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО И АМЕРИКАНСКОГО ОПЦИОНОВ КОЛЛ

Рассмотрим два портфеля. В первый входит длинный европейский опцион колл на фьючерсный контракт с и сумма денег равная

приведенной стоимости цены исполнения Хе гТ. Она инвестируется под ставку без риска г на период времени 74 Второй портфель состоит из одного длинного фьючерсного контракта, открытого по цене Fn, и суммы денег F0e '1.

Она инвестируется под ставку без

риска до момента истечения опциона

Если к моменту истечения срока действия опциона фьючерсная цена F, выше цены исполнения, в первом портфеле исполняется

опцион колл. Держатель опциона получает вариационную маржу в размере:

Ff -X.

Сумма денег Хе~гТ выросла на депозите до величины X, поэтому стоимость первого портфеля равна:

FT-X + X = FT.

Во втором портфеле по фьючерсному контракту получается вариационная маржа в размере:

F1~F0'

Сумма денег F{)e~r7 выросла до величины F0. Стоимость портфеля равна:

ft-fo + fq = ft-

Таким образом, стоимости портфелей равны.

Если к моменту истечения срока действия опциона FT lt; X , то в

первом портфеле опцион колл не исполняется. Сумма денег Хе~гТ выросла до величины X, поэтому стоимость первого портфеля равна X.

Во втором портфеле по фьючерсному контракту получается вариационная маржа в размере:

FT~F0-

г Вместо суммы денег в портфель можно включить безрисковую облигацию, номинал которой равен X. погашаемую в конце периода Т

Сумма денег Fe гТ выросла до величины F0. Стоимость портфеля равна:

FT-F0+F0 = FT.

Поскольку FT lt; X , то стоимость первого портфеля больше или

равна стоимости второго портфеля. Данное соотношение должно выдерживаться и в начале периода Т, иначе можно получить арбитражную прибыль. Поэтому:

се + XerT gt; F0 + F()e~rT

ИЛИ

cegt;F0 + F0e~rT-Xe~rT.              (8.1)

В момент заключения фьючерсного контракта его стоимость равна нулю, в результате неравенство (8.1) принимает вид:

сг gt; F0e~rT - Хе'гТ              (8.2)

или

сеgt;(Г0-ХУгТ,

или для простого процента

Таким образом, премия европейского опциона на фьючерсный контракт не должна быть меньше дисконтированной стоимости разности между текущей фьючерсной ценой и ценой исполнения.

В противном случае можно совершить арбитражную операцию.

Пример.

Фьючерсная цена 110 руб., цена исполнения трехмесячного опциона на фьючерсный контракт 100 руб., ставка без риска для трех месяцев 10% годовых. Определить нижнюю границу премии опциона.

Решение.

110-100 ^

= 9,156 руб.

1 + 0,1(3/12)

Предположим, что в примере фактическая цена опциона меньше нижней границы и равна 9 руб. Тогда можно совершить арбитражную

операцию. Алгоритм действий арбитражера определим на основе неравенства (8.2). В случае возможности совершения арбитражной операции оно принимает вид:

с lt;Р'{)е" -Хег1 .              (8.4)

:[|евая часть неравенства это первый портфель, правая часть неравенства второй портфель. Первый портфель дешевле второго, поэтому его следует купить, второй продать. Таким образом, арбитражер продает фьючерс по 110 руб., занимает 9 руб. и покупает опцион. В конце периода он должен вернуть по кредиту сумму:

9[| + 0,|(3 /12gt;] = 9,225 руб.

Если к моменту истечения срока действия контракта gt; X ,

арбитражер исполняет опцион и получает вариационную маржу в размере:

-100.

У него также открывается длинная фьючерсная позиция. Она является офсетной относительно проданного им фьючерса. По короткой позиции он получает:

110-^.

Общий результат равен:

-100 + 110-^ =10.

Из этой суммы арбитражер возвращает кредит. Прибыль равна:

10 - 9,225 = 0,775 руб.

Если к моменту истечения срока действия контракта /gt; lt; X,

опцион не исполняется, арбитражер закрывает короткую фьючерсной позицию офсетной сделкой, отдает кредит и получает еще большую прибыль.

Мы рассмотрели вопрос определения нижней границы премии для опциона на фьючерсный контракт с одним допущением: не учитывали возможное перечисление вариационной маржи в ходе действия фьючерсного контракта, т.е. фактически рассматривали его как форвардный контракт. С учетом начисления процента на положительную маржу и финансирования под процент отрицательной маржи финансовый результат на практике может несколько отличаться от полученного, те.

арбитраж с использованием фьючерсных контрактов не является абсолютно безрисковым. В то же

время, как было показано в приложении 1 к главе 3, если процентная ставка постоянна и одинакова для всех периодов времени, то результаты по форвардному и фьючерсному контрактам будут аналогичными.

Американский опцион колл можно исполнить в любой момент действия контракта. Поэтому его цена не должна быть меньше внутренней стоимости опциона, т.е.:

с- gt;*¦-*.              (8.5)

В противном случае можно совершить арбитражную операцию.

Пример.

Фьючерсная цена 110 руб., цена исполнения трехмесячного опциона колл на фьючерсный контракт 100 руб. Опцион стоит 9,9 руб. Указанное выше условие нарушено. Арбитражер покупает опцион, продает фьючерс и исполняет контракт. Его прибыль равна:

  • 9,9 + (110-100)= ОД/губ.

Согласно формулам (8.2) у\ (8.5) нижняя граница премии американского опциона колл больше премии европейского. Поэтому американский опцион должен стоить больше европейского.

В главе 6 мы отметили, что европейский опцион колл на фьючерсный контракт может иметь отрицательную временную стоимость. Покажем это аналитически, используя условие для нижней границы опциона.

Допустим, премия опциона колл равна ее нижней границе, т. е.:

с * -Хе , Т.

Внутренняя стоимость составляет:

г-х%

а временная стоимость равна:

С,-(*¦-*)

Отсюда:

{р-хУгТ-{р-х)lt;о , так как Р-Х gt;(.Р- х]е~г1". 

<< | >>
Источник: Буренин А.Н.. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные, М, Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, - 534 с. 2005

Еще по теме НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО И АМЕРИКАНСКОГО ОПЦИОНОВ КОЛЛ:

  1. Нижняя граница премии европейского и американского опционов колл
  2. Нижняя граница премии американского опциона колл. Раннее исполнение американского опциона колл
  3. Нижняя граница премии европейского опциона колл
  4. НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО И АМЕРИКАНСКОГО ОПЦИОНОВ ПУТ
  5. Нижняя граница премии европейского и американского опционов пут
  6. Верхняя граница премии европейских и американских опционов колл и пут
  7. Верхняя граница премии американского и европейского опционов колл
  8. ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА ПРЕМИИ АМЕРИКАНСКОГО И ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНОВ КОЛЛ
  9. Нижняя граница премии европейского опциона пут
  10. Нижняя граница премии американского опциона пут. Раннее исполнение американского опциона пут