<<
>>

Форвардная цена и цена форвардного контракта на актив, по которому выплачиваются доходы

  Форвардная цена акции с учетом абсолютной величины

дивиденда

Рассмотрим вопрос определения форвардной цены актива, по которому выплачиваются доходы, на примере акции. На акцию в течение периода действия контракта выплачивается дивиденд.

Предполагается, что участникам рынка известна величина дивиденда.

Приобретая контракт, инвестор не получит дивиденд, а также тот процент, который можно начислить на дивиденд до момента окончания срока действия контракта. Эти условия необходимо учесть при определении форвардной цены.

Рассмотрим вначале простой случай: дивиденд выплачивается перед самым моментом истечения контракта. Тогда инвестор не получает только дивиденд. Форвардная цена равна:

/              т- Л

-сИу ,              (2.13)

где Т- период действия контракта; сИ\’~ дивиденд.

Пример 1.

Цена спот акции 100 руб., ставка без риска - 10%, дивиденд - 2 руб., выплачивается через полгода. Определить шестимесячную форвардную цену. Она равна:

/              л

  1. + 0,1— -2 = 103 руб.

12;

Следующий случай предполагает, что дивиденд выплачивается в некоторый момент времени (/,) в период действия контракта (см. рис.

2.3). Тогда покупатель контракта не получит не только дивиденд,

и

Рис. 2.3. Срок действия контракта -, день выплаты дивиденда - ^

но и проценты от его реинвестирования до момента истечения срока действия контракта (/2), т. е. за период времени /2 . В этом случае формула (2.13) принимает вид:

( 1 л

л *"gt;

1 +Г,——

(
-
ч “ база) V

і *2 “'і 1 + г,

где г2 - ставка без риска для периода времени

г2.

і - форвардная ставка без риска для периода г2 ;

и - период действия контракта.

В формуле (2.14) вместо абсолютной величины дивиденда можно воспользоваться значением его приведенной стоимости к моменту заключения форвардного контракта. Она равна:

-^7- ,              (2.15)

?gt; =

1 + к -

база

где О - приведенная стоимость дивиденда; гх - ставка без риска для периода і{ .

Тогда можно сказать, что покупатель контракта не получает доход от инвестирования приведенной стоимости дивиденда на весь период действия контракта, и формула (2.14) примет вид:

(2.16)

где л - период действия контракта; г2 - ставка без риска для периода /2.

Формула (2.16) получается из формулы (2.14), подстановкой в нее значения дивиденда из формулы (2.15), а именно:

база

В выражении (2.17)[18]

Поэтому:

Пример 2.

Цена акции 100 руб., через четыре месяца на акцию выплачивается дивиденд в размере 10 руб. Определить шестимесячную форвардную цену акции, если ставка без риска на шесть месяцев равна 20% годовых, на четыре месяца - 19,8% годовых.

Решение.

Приведенная стоимость дивиденца к моменту заключения контракта равна:

О =                                          = 9,38 руб.

1+0,198(4/12)

Шестимесячная форвардная цена акции составляет:

( 6 А (100-9,3811 + 0,2— -99,68руб.

  • 12;

Если фактическая форвардная цена в примере не равна полученному теоретическому значению, то арбитражеры заработают прибыль без риска и восстановят единство цен. Проиллюстрируем это на цифрах.

  1. Фактическая шестимесячная форвардная цена составляет 99 руб. Тогда арбитражер: а) покупает форвардный контракт, так как он стоит дешевле, чем должен стоить; б) занимает акцию и продает ее на спотовом рынке за 100 руб.; в) из 100 руб. сумму равную дисконтированной стоимости дивиденда, т. е. 9,38 руб., размещает на депозит под 19,8% на четыре месяца; г) оставшуюся сумму в 90,62 руб. размещает на шестимесячном депозите под 20%.

Через четыре месяца по депозиту он получит 10 руб. и отдаст их в качестве дивиденда кредитору (поскольку на акцию выплачивается дивиденд в 10 руб., то арбитражер должен отдать данную сумму кредитору);

Через полгода арбитражер: а) получает по депозиту:

6^

90,62| 1 + 0,2— =99,68/7^6.;

12;

б) уплачивает за акцию по контракту 99 руб. и возвращает ее кредитору. Его прибыль равна:

99,68-99 = 0,68руб.

68 копеек арбитражер получит к моменту истечения действия контракта. Если он заинтересован в использовании прибыли в момент начала операции, то он может сразу же воспользоваться суммой в размере дисконтированной стоимости 68 копеек:

0,68 „

17мда)=0'62,,gt;’^

Тогда на шестимесячном депозите он разместит сумму:

90,62-0,62 = 90руб.

Через шесть месяцев получит:

г б''

1 + 0,2— =99 руб. 12)

и уплатит их за акцию по контракту.

Определить величину арбитражной прибыли на начало операции можно еще следующим образом, Через лолгода арбитражер должен располагать 99 руб. Их дисконтированная стоимость равна:

99

              \ = 90 руб.

1+0,2(6/12)

Поэтому из оставшейся суммы в 90,62 руб. он 90 руб. размещает на депозите, а 0,62 руб. оставляет в качестве прибыли.

  1. Фактическая форвардная цена акции составляет 100 руб. Тогда арбитражер: а) продает контракт, так как он стоит дороже, чем должен стоить; б) занимает 100 руб. и покупает акцию; (из 100 руб. он занял 9,38 руб. на четыре месяца под 19,8%; оставшуюся сумму в
  1. руб. занял на шесть месяцев под 20%.)

Через четыре месяца арбитражер получает по акции дивиденд и возвращает первую часть кредита.

Через полгода он: а) поставляет акцию по контракту и получает 100 руб.; б) из данной суммы возвращает кредит в размере:

( 6 ^

  1. 1 + 0,2— =99,68руб.
  • 12;

Его прибыль равна:

  1. - 99,68 = 0,32руб.

Инвестор может воспользоваться арбитражной прибылью и в начале действия контракта. Она равна дисконтированной стоимости рассчитанной прибыли к моменту его окончания:

0,32

= 0,29 руб.

1 + 0,2(6/12)

Чтобы рассчитать данную сумму, можно рассуждать следующим образом. По истечении контракта инвестору будет уплачено за акцию 100 руб. Поэтому в момент его заключения по второй сумме на шесть месяцев надо занять не 90,62 руб., а:

              [^—^ = 9Ъ,9\руб.

1+0,2(6/12)

Из них вместе с первой суммой он использует для покупки акции 90,62 руб. Разница:

  1. - 90,62 = 0,29руб.

составляет его арбитражную прибыль.

На акцию в течение действия контракта дивиденды могут выплачиваться несколько раз. В этом случае формула (2.14) примет вцц:

^ ^ 1 + -^-1 -^ы{\ + гт,              , (2.20)

^ база) ,=1 ^ '' база)

где Т - период действия контракта;

п - количество выплачиваемых дивидендов в течение действия контракта;

сИуг - / -й дивиденд, выплачиваемый в течение действия контракта;

гт - ставка без риска для периода Т;

гТч, - форвардная ставка для периода времени с момента выплаты / -го дивиденда до момента окончания действия контракта.

Формула (2.16) соответственно примет вид:

( " А

(

F -

1 + rT

і

1

V f=i J

I

\

база )

где Ц - приведенная стоимость i -го дивиденда к началу действия контракта.

Рассмотренные выше формулы применимы и для процентных инструментов. В таком случае вместо дивиденда учитывается купон, выплачиваемый на базисный актив.

С учетом непрерывно начисляемого процента формулы (2.16) и (2.21) примут вид:

F = (S - ПУ7              (2.22),

f              n

S-^D, le-

  • /=]

где г - непрерывно начисляемый процент без риска для периода Т;

Т - время действия форвардного контракта.

  1. Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда

Форвардную цену акции можно определить, воспользовавшись вместо абсолютной величины дивиденда ставкой дивиденда. Получим соответствующую формулу. В рассуждениях используем простой процент, сделаем допущение о делимости акции на части.

Имеется два портфеля А и В. Портфель А состоит из одного длинного форвардного контракта на акцию, который стоит / , и суммы денег равной приведенной стоимости цены поставки

              7                            , где К - цена поставки акции, г - ставка без риска,

1 + гуТ/базо)

К

Т - время действия контракта. Сумма денег                                           инве-

1 + г(Т/база)

стируется под процент г на время Т. В портфель В входит акция в

количестве ——                            , где 5- цена спот акции, д - ставка

1 + ц\Т/база)

дивиденда. Дивиденд выплачивается на акцию непосредственно

перед истечением времени действия контракта и реинвестируется в акцию.

По прошествии времени Т портфель А состоит из одной акции,

поскольку величина                             за время Т выросла до суммы

1 + г (Т/ база)

К . Она была уплачена за акцию по форвардному контракту.

В портфель В также входит одна акция, поскольку на акцию был выплачен дивиденд по ставке д и реинвестирован в акцию. Таким

образом, стоимости портфелей А и В равны в конце периода Т. Следовательно, в начале периода Т их стоимости также должны быть равны, чтобы исключить возможность совершения арбитражной операции. Поэтому можно записать:

К              5

' +1 +г{Т/б аза) 1 + (Г/ база)

Поскольку в момент заключения контракта / = 0 и К = F, то:

„ 0 1 + г(Т /база)

Р = 3              Иг—{¦              (2.23)

1 + ц\Г/база)

В приведенном доказательстве у читателя может возникнуть вопрос. почему в портфель В в конце периода Т обязательно будет входить одна акция, поскольку за период действия контракта ее цена изменялась не только в результате накопления дивидендной составляющей, но также и в связи со спекулятивным изменением курса? Для ответа на этот вопрос важно не забывать, что в каждый данный момент времени ставка дивиденда рассчитывается относительно текущей цены акции. Поэтому не важно, как будет изменяться ее цена в силу спекулятивной динамики рынка. На основе ставки дивиденда дивиденд будет рассчитан относительно текущей цены акции в момент его выплаты. Инвестировав данную сумму в акцию, мы получим в портфеле В одну единицу акции. В общем виде отмеченный результат можно показать следующем образом. В начальный момент акция входит в портфель В в количестве:

1 акция

1 -I- ц(Т/база)

Начисление дивиденда в конце периода Т на текущую цену акции и реинвестирование его в акцию дает результат:

Другими словами, в результате спекулятивного изменения курса акции ее пропорция в портфеле В остается неизменной. Выплата дивиденда по ставке q от текущей цены акции позволяет докупить ее в количестве, дополняющем ее в портфеле до одной целой акции. Проиллюстрируем данный результат на цифровом примере.

Пример 3.

Курс акции равен 100 руб., ставка дивиденда 20% годовых, дивиденд выплачивается через шесть месяцев. Акция входит в портфель на сумму:


Соответственно в пропорции от одной акции это составляет 0,909091 единиц. Пусть за полгода цена акции спекулятивно выросла на 20%, т.е. до 120 руб. Тогда стоимость портфеля увеличилась до:

90,90911,2 = 109,091 руб.

Стоимость портфеля увеличилась только благодаря росту курса акции, поэтому ее уд. вес в портфеле остался неизменным, т.е. он по- прежнему соответствует 0,909091 единицам.

На сумму акции в портфеле был выплачен дивцценд в размере:

  1. - 0,2 — -10,9091руб.

Эта сумма реинвестируется в акцию:

  1. +10,9091 = 120руб.

Стоимость акции в данный момент равна 120 руб., стоимость портфеля также составляет 120 руб. Следовательно, в портфель входит одна единица акции.

В формуле (2.23) дивиденд выплачивался в конце действия контракта. Если он выплачивается в некоторый момент времени / в ходе действия контракта, то формула (2.23) примет вид:

г- „ І + Г(Т/база)

Г = 8              ^              (.              (2.24)

1 +Цу/база)

Получим данную формулу, сравнивая как и выше портфели А и В. Портфель А состоит из одного длинного форвардного контракта на акцию, который стоит /, и суммы денег равной приведенной

К

стоимости цены поставки                             —              . Сумма денег

1 -і- гуТ/база)

инвестируется под процент г на время Т. В порт-

I + г{Т/база)

$

фель В входит акция в количестве              . Дивиденд выпла-

1 + ц{{/база)

чивается на акцию в момент I.

По прошествии времени Т портфель А состоит из одной акции,

поскольку величина               :—                            за время Т выросла до суммы

1 -к г{Т/6аза)

К . Она была уплачена за акцию по форвардному контракту.

В портфель В также входит одна акция, поскольку в момент I от текущей цены на акцию был выплачен дивиденд по ставке ц и реинвестирован в акцию. (В дальнейшем в течение времени Т -1 в портфеле В находилась одна акция.) Таким образом, стоимости портфелей Ач\В равны в конце периода Т. Следовательно, в начале периода Т их стоимости также должны быть равны, чтобы исключить возможность совершения арбитражной операции. Отсюда следует формула (2.24).

Каким образом корректно определить ставку дивиденда, чтобы использовать ее в формулах (2.23) и (2.24). Для этого можно приравнять формулы (2.23) и (2.24) к формуле (2.16) и выразить из полученного равенства . Приравняем формулы (2.24) и (2.16):

л 1 + г(Т/база)

база ) Отсюда:

1 + q{^! база)

Ґ ? Л ——і

4 =

S-D )

V

или

D база

q =              •              (2.25)

S-D t              К '

Поскольку D =              ^              г, то окончательно можем записать:

1 + r(tj база) _ div/[ 1 + r(t/6uia)\ база ^ S - {rfiv/[l + r(t/база^ t

Рассчитаем ставку дивиденда для примера 2 на основе формулы (2.25):

9 38 12

q                             !              = 0,310527 или 31,05%.

100-9,38 4

Рассчитаем шестимесячную форвардную цену из примера 2 с помощью формулы (2.24):

F = 1 оо 1 + 0gt;2(6/12) = 99 68 6 1 + 0,3105(4/12)

Для случая непрерывного процента аналогом формулы (2.23) является формула:

F = Se[r~4)T ,              (2.26)

где q - непрерывно начисляемая ставка дивиденда.

С теоретической точки зрения непрерывно начисляемая ставка дивиденда означает, что дивиденд начисляется и постоянно реинвестируется. Если инвестор знает величину ставки дивиденда в расчете на год, то по формуле (2.3) он сможет пересчитать ее в непрерывно начисляемую ставку дивиденда. Докажем формулу (2.26) в общем виде.

Имеются два портфеля А и В. В портфель А входит длинный форвардный контракт на покупку акции и сумма денег равная дисконтированной стоимости цены поставки Ке гТ. Данная сумма денег инвестируется под непрерывно начисляемый процент на период Т . В портфель В входит акция в количестве Se~qT, где S

  • цена спот акции, e~qT - количество единиц акции в портфеле. Мы предполагаем, что акцию можно дробить. В конце периода Т в

    портфель А входит одна акция, так как величина Ке гТ выросла до суммы К, и она была уплачена по контракту. В лортфель В также входит одна акция. На акцию за время Т непрерывно начислялся дивиденд и реинвестировался в бумагу. Стоимости портфелей равны в конце периода Т. Следовательно, они должны быть равны и в начале периода, чтобы арбитраж был невозможен. Поэтому можно записать:

/ + Ке'гТ =5е~чТ.              (2.27)

Поскольку в момент заключения контракта / = 0, а K = F ,то

Ре~гТ = 8е~цТ

или

/г =

В приведенном доказательстве у читателя также может возникнуть вопрос, почему в портфель В в конце периода Т обязательно будет входить одна акция? Вновь следует помнить, что в каждый данный момент времени на основе ставки дивиденда величина дивиденда рассчитывается от текущей цены акции, и на эту сумму она докупается по текущей цене. Поэтому не важно, как будет изменяться ее цена в силу спекулятивной динамики рынка. В общем виде отмеченный результат можно показать следующем образом. В начальный момент акция входит в портфель В в количестве:

1 акция е~чТ.

За период действия контракта начисление и реинвестирование дивиденда на текущую цену дает результат:

1 акция е 1/7 •ечТ =1 акция.

Проиллюстрируем сказанное также на цифровом дискретном примере.

Пример 4.

В начальный момент времени цена спот акции равна 100 руб., непрерывно начисляемая ставка дивиденда составляет 20% годовых. Рассматриваемый период времени равен полгода, т.е. 0,5. Акция входит в портфель на сумму:

100е 02 0 5 = 90,48374руб.

Соответственно в пропорции от одной акции это составляет 0,9048374 единиц.

Пусть прошел период времени равный 0,1 года и цена акции спекулятивно выросла на 10%. Тогда стоимость портфеля составила:

90,48374е01 0,1 = 91,39312руб.

Стоимость портфеля выросла только за счет роста курсовой стоимости акции, поэтому пропорция акции в портфеле, считая от единицы, осталась прежней, т.е. новой стоимости портфеля 91,39312 руб. соответствует по-прежнему 0,9048374 единицы акции.

В этот момент на акцию выплачивается дивиденд за время 0,1 года и реинвестируется в акцию по текущей цене. С учетом этого новая стоимость портфеля равна:

91,393 іг/'211’1 =93,23938руб.

Так как акцию докупили на сумму выплаченных дивидендов, то ее уд. вес в портфеле вырос. Найдем его на основе следующей пропорции:

  1. - 0,9048374

93,23938 - х

Отсюда:

93,23 938 ¦ 0,9048374 =отиб

91,39312

Таким образом, стоимость портфеля в сумме 93,23938 руб. соответствует 0,923116 единицам акции.

Прошло еще время 0,2 года, и курс акции спекулятивно вырос на 20%. Стоимость портфеля составила:

93,23938е0’20'2 = 97,04455руб.

Так как стоимость портфеля выросла только за счет роста курсовой стоимости акции, то ее уд. вес в портфеле остался прежним, т.е. новой стоимости портфеля 97,04455 руб. соответствует по-прежнему 0,923116 единицы акции. В этот момент на акцию выплачивается дивиденд за время 0,2 года и реинвестируется в нее по текущей цене. С учетом этого новая стоимость портфеля равна:

97,О4455е0’20’2 = 101,055/зуб.

Акцию докупили на сумму выплаченных дивидендов, поэтому ее уд. вес в портфеле вырос. Найдем его на основе следующей пропорции:

  1. - 0,923116 101,005 - х

Отсюда:

101.005-0,923116              89_

97,04455

Таким образом, стоимость портфеля в сумме 101,005 руб. соответствует 0,960789 единицам акции.

Прошло еще время 0,2 года, и курс акции спекулятивно упал на 10%. Стоимость портфеля составила:

101,055с*(U 0 2 = 99,00498/?уб.

Стоимость портфеля уменьшилась только за счет снижения курсовой стоимости акции, поэтому ее уд. вес в портфеле остался прежним, т.е. стоимости портфеля 99,00498 руб. соответствует по-прежнему

  1. 960789 единицы акции. В этот момент на акцию выплачивается дивиденд за время 0,2 года и реинвестируется в нее по текущей цене. С учетом этого стоимость портфеля равна:

99,00498е 0J 0 2 = 103,0455^6.

Так как акцию докупили на сумму выплаченных дивидендов, то ее уд. вес в портфеле вырос. Найдем его на основе следующей пропорции:

99,00498 - 0,960789

  1. - х

Отсюда:

  1. -0,960789 99,00498

Таким образом, по завершении периода времени Т ~ 0,5 года в

портфель входит одна акция. Данный результат не зависит от того, как спекулятивно изменялся ее курс за прошедшее время.

Для того, чтобы корректно определить ставку дивиденда для формулы (2.26), приравняем ее к формуле (2.22):

(5 - D)erT = Se('-q)T

ИЛИ

rT

eqT = Se

(S-D)erT '

ИЛИ

11 s

q = — ln

T S-D

Для расчета форвардной цены акции можно использовать формулы на основе приведенной стоимости дивиденда и ставки дивиденда. Какую из них применять в каком случае? Если рассматривается небольшой период времени, в рамках которого можно относительно точно прогнозировать абсолютную величину будущего дивиденда, то целесообразнее остановиться на формуле с приведенной стоимостью дивиденда. Для долгосрочного периода лучше использовать формулу на основе ставки дивиденда, поскольку обычно она является величиной постоянной или изменяется не сильно для многих компаний. Поэтому она может точнее поддаваться прогнозу чем величина дивиденда.

  1. Цена форвардного контракта

Для определения цены форвардного контракта через некоторое время после его заключения воспользуемся формулой (2.9):

F-K

1 + г(Т/базо)'

Подставим в нее значение форвардной цены из формулы (2.16):

(S-D\\ + г(Т/база)]~К 1 + г(Т1база)

После преобразования получим:

/ = S-D              ?              г.              (2.28)

\ + г{Т/база)

Для случая непрерывно начисляемого процента формула (2.28) принимает вид:

/ = S-D- Ке~гТ ,

где S - цена спот актива в момент определения стоимости контракта. Таким образом, цена форвардного контракта равна цене спот актива минус приведенная стоимость выплачиваемого на него дохода и минус приведенная стоимость цены поставки.

При использовании в расчетах непрерывно начисляемой ставки дивиденда цену форвардного контракта получаем из формулы (2.27):

/ = amp;gt; чТ -КёТ.              (2.29) 

<< | >>
Источник: Буренин А.Н.. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные, М, Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, - 534 с. 2005

Еще по теме Форвардная цена и цена форвардного контракта на актив, по которому выплачиваются доходы:

  1. Форвардная цена и цена форвардного контракта на валюту
  2. 2.2. ФОРВАРДНАЯ ЦЕНА И ЦЕНА ПОСТАВКИ
  3. 2.3.4 Форвардная цена товара
  4. § 43.2. ФОРВАРДНЫЙ КОНТРАКТ НА ПОКУПКУ АКЦИЙ, ПО КОТОРЫМ ОЖИДАЕТСЯ ВЫПЛАТА ДИВИДЕНДОВ
  5. Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам. Внутренняя ставка доходности
  6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРВАРДНОЙ ЦЕНЫ И ЦЕНЫ ФОРВАРДНОГО КОНТРАКТА
  7. § 28.13. ФОРВАРДНЫЕ КОНТРАКТЫ
  8. § 43.1. ФОРВАРДНЫЙ КОНТРАКТ НА ПОКУПКУ АКЦИЙ БЕЗ ВЫПЛАТЫ ДИВИДЕНДОВ
  9. 7.1.2. Форвардный контракт
  10. 5.1. ФОРВАРДНЫЙ КОНТРАКТ
  11. ГЛАВА 2. ФОРВАРДНЫЕ КОНТРАКТЫ
  12. 2.4. СИНТЕТИЧЕСКИЙ ФОРВАРДНЫЙ КОНТРАКТ
  13. 2.1. Форвардные контракты
  14. Глава 43 СТОИМОСТЬ ФОРВАРДНОГО КОНТРАКТА